Question

O engenheiro Pedro projetou um reservatório de água em forma de semiesfera, de raio 6 metros. O reservatório será utilizado em um prédio de apartamentos. No entanto, o engenheiro especificou que o reservatório deve atingir a capacidade máxima de 280 metros cúbicos. Sendo assim, analisando a situação acima, é possível determinar a altura máxima h que a água pode atingir? Caso possível, obtenha o valor de h.

Answer 1

A altura máxima que a água pode atingir é de 2,36 metros.

$\dotfill$

A questão aborda o cálculo do volume de uma semiesfera em função de uma altura h desconhecida. Da geometria espacial, o volume da esfera é dado por:

V = 4πr³/3

Como temos a semiesfera (metade da esfera) a fórmula fica:

Vsemi = 4πr³/3 * 1/2 = 2πr³/3

Se substituirmos r = 6 na fórmula acima e π = 3,14 , temos:

Vsemi = 2 .π .6³/3 ≈ 452,16 cm³

Isso nos mostra que o reservatório cheio comporta aproximadamente 452,16 cm³ de água.

No entanto, como o engenheiro especificou que o reservatório deve atingir a capacidade máxima de 280 metros cúbicos, ele deve ser preenchido até uma altura h desconhecida.

Dessa forma, o volume da semiesfera que realmente conterá água é equivalente a uma calota esférica. Seu volume para um raio r e altura h é:

Vcal = πr³/3 * (3r - h)

Substituindo:

280 = 3,14. 6³/3 * (3.6 - h)

280 = 226,08 * (3.6 - h)

1,2385 = (3.6 - h)

h ≈ 2,3615

Sendo assim, a altura máxima que a água pode atingir é de 2,36 metros.

Até a próxima!

Answer 2

Resposta:

A altura máxima que a água pode atingir é de 2,36 metros.

A questão aborda o cálculo do volume de uma semiesfera em função de uma altura h desconhecida. Da geometria espacial, o volume da esfera é dado por:

V = 4πr³/3

Como temos a semiesfera (metade da esfera) a fórmula fica:

Vsemi = 4πr³/3 * 1/2 = 2πr³/3

Se substituirmos r = 6 na fórmula acima e π = 3,14 , temos:

Vsemi = 2 .π .6³/3 ≈ 452,16 cm³

Isso nos mostra que o reservatório cheio comporta aproximadamente 452,16 cm³ de água.

No entanto, como o engenheiro especificou que o reservatório deve atingir a capacidade máxima de 280 metros cúbicos, ele deve ser preenchido até uma altura h desconhecida.

Dessa forma, o volume da semiesfera que realmente conterá água é equivalente a uma calota esférica. Seu volume para um raio r e altura h é:

Vcal = πr³/3 * (3r - h)

Substituindo:

280 = 3,14. 6³/3 * (3.6 - h)

280 = 226,08 * (3.6 - h)

1,2385 = (3.6 - h)

h ≈ 2,3615

Sendo assim, a altura máxima que a água pode atingir é de 2,36 metros.