Question

limite [x^2-4] \sqrt[x+2]-sqrt[3x-2] com x tendendo a 2 ?

Answer 1

$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{ \sqrt{x+2}- \sqrt{3x-2} } = \frac{0}{0} }}$

fatorando o numerador
diferença dos quadrados a²-b² = (a-b)*(a+b)
então 
x²-4 = x²-2² = (x-2)*(x+2)

ficando
$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{ \sqrt{x+2}- \sqrt{3x-2} }}}$

multiplicando o denominador pelo conjugado para obter uma diferença dos quadrados e eliminar a raíz
para isso teremos que multplicar por sqrt[x+2]+sqrt[3x-2]
ai vc teria algo como (a-b)*(a+b)= a²-b²
se vc multiplica no denominador tbm vai ter q multiplicar no numerado então temos


$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{( \sqrt{x+2}- \sqrt{3x-2} )}* \frac{( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) }{ (\sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2)} } \\\\ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{( \sqrt{x+2})^2- (\sqrt{3x-2} )^2}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) \\\\ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{(x+2)- (3x-2)}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) \\\\ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{x+2-3x+2}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) \\\\ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{(-2x+4)}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2})$

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{2(-x+2)}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) \\\\ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x+2)}{-2(x-2)}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) \\\\ \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)}{-2}* ( \sqrt{x+2}+ \sqrt{3x-2}) = \frac{4}{-2}*(\sqrt{4}+\sqrt{4}) = -8$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Nivaldo, pelo que foi colocado, estamos entendendo que a sua expressão estaria escrito da seguinte forma:

lim (x²-4)/[√(x+2) - √(3x-2)]
x-->2

Veja: se formos substituir diretamente por "2" o "x" da expressão acima, iremos encontrar "0/0", o que é uma indeterminação e isso não pode existir. Então deveremos levantar essa indeterminação.
Aí você poderá perguntar: e como faremos isso?
Resposta: há várias formas de fazer. Uma das formas é proceder como fez o Andresccp, que é a pessoa que me antecedeu na resposta.
A forma que ele utilizou é bastante interessante e, nesses casos, é a mais usada. Porém, considerando que há denominadores que teriam que ser racionalizados, isso contribui para que o método fique um pouco mais trabalhoso, embora, como afirmamos acima, a forma aplicada por ele seja uma das mais utilizadas.
Assim, por causa disso,  vamos escolher uma outra forma (um pouco menos trabalhosa neste caso específico), que é esta: encontraremos, de forma independente, a derivada do numerador e a derivada do denominador.
Depois, é só substituir por "2" o "x" da expressão e já teremos, incontinenti, o valor do limite pedido (ou seja, quando "x" tende pra "2").
Veja:

- a derivada do numerador (x²-4) é esta: 2x.
e
- a derivada do denominador √(x+2) - √(3x-2) é esta: 1/2√(x+2) - 3/2√(3x-2).

Agora vamos substituir na nossa expressão original, ficando:

lim (2x)/[1/2√(x+2) - 3/2√(3x-2)]
x-->2

Agora vamos substituir por "2" o "x" da expressão acima, ficando:

(2*2)/[1/2√(2+2) - 3/2√(3*2-2) = 4/[1/2√(4) - 3/2√(4)] --- como √(4) = 2, teremos:

= 4/[1/2*2 - 3/2*2] = 4/[(1/4 - 3/4] = 4/[(1-3)/4]  =

= 4/[(-2)/4] = 4/(-2/4)---- veja que temos aqui uma divisão de frações. Então:

= (4/1)*(4/-2) = 4*4/1*(-2) = 16/-2 = - 8 <---- Pronto. Esta é a resposta.

Ficou, ou não, menos trabalhoso, com a utilização deste nosso método?

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.