Question

Limite ? [ 2x^2 +5x -3] \ |x +2| com x tendendo a -2 ?

Answer 1

$L=\underset{x\to -2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2x^{2}+5x-3}{|x+2|}$

Fazendo $x\to -2,$ temos que

o numerador tende a $-5\,,$

o denominador tende a $0.$


Chegamos a um resultado do tipo $k/0,$ sendo $k$ uma constante não nula. Quando isso acontece, temos três possibilidades:

ou o limite é $+\infty,$ ou é $-\infty$ ou o limite não existe.


$\bullet\;\;$ Temos que avaliar o sinal do numerador e do denominador na vizinhança de $x_{0}=-2.$


Consideremos $f(x)=2x^{2}+5x-3.$ Na vizinhança de $x_{0}=-2,$ temos que $f(x)<0.$

(Isso é óbvio, pois $f$ é contínua e em $x_{0}=-2,$ a função vale $-5$)


Consideremos $g(x)=|x+2|.$ Como $g$ é uma função modular, temos que

$g(x)\geq 0$

qualquer que seja $x.$ Como $x\neq -2,$ o denominador é sempre positivo.

$\bullet\;\;$ Como o numerador é negativo e o denominador é positivo, a função racional é negativa na vizinhança de $x_{0}=2.$


Logo,

$L=\underset{x\to -2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2x^{2}+5x-3}{|x+2|}=-\infty$