(Me ajudem por favor preciso urgente) A partir da imagem,determine,em função de r, os cinco primeiros termos da sequência:

•dos raios das circunferências

•dos comprimentos das circunferências

•das áreas dos círculos delimitados pelas circunferências

As sequências que você escreveu são progressões geométricas? Se forem, determine a razão de cada delas.

Anexos:

Respostas

respondido por: Luis3henri

Os cinco primeiros termos das sequências são:

$r;\; \frac{r}{2} ; \; \frac{r}{4} \; ;\frac{r}{8} \; e \; \frac{r}{16}$ . Progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ .
$2\pi r;\; \pi r;\; \frac{\pi r}{2} ;\; \frac{\pi r}{4};\;\frac{\pi r}{8}$ . Progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ .
$\pi r^2;\; \frac{\pi r^2}{4} ;\; \frac{\pi r^4}{16} ;\; \frac{\pi r^2}{64} ;\; \frac{\pi r^2}{256}.$ Progressão geométrica de razão $\frac{1}{4}$ .

Propriedades da circunferência

As circunferências são tais que possuem as seguintes propriedades:

A distância da borda até o centro é chamada de raio (r).
O diâmetro corresponde à distância entre duas extremidades da circunferência, passando pelo centro, e é igual ao dobro do raio.
O comprimento (equivalente ao perímetro) é dado por $C = 2\cdot \pi\cdot r$ .
A área da circunferência é dada por $A = \pi \cdot r^2$ .

Dito isto, vamos responder aos itens. Sendo as sequências formadas:

Dos raios das circunferências

A primeira circunferência possui raio r.

Veja que o diâmetro da segunda é igual ao raio da primeira, ou seja, seu raio vale metade do raio da primeira, logo $\frac{r}{2}$ .

Assim, podemos constatar que o raio de cada circunferência é a metade do raio da circunferência anterior. Deste modo, a sequência fica:

$r; \; \frac{r}{2}; \; \frac{r}{4}; \;\frac{r}{8}; \; e\; \frac{r}{16}.$

Observe que temos uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ .

Dos comprimentos das circunferências

A primeira circunferência possui raio r. Assim, seu comprimento é $2 \pi r$ .

A segunda circunferência possui raio $\frac{r}{2}$ , logo seu comprimento será $2 \cdot \pi \cdot \frac{r}{2} \Rightarrow \pi r$ .

A terceira circunferência possui raio $\frac{r}{4}$ . Seu comprimento será $2 \cdot \pi \cdot \frac{r}{4} \Rightarrow \frac{\pi r}{2}$ .

Observe que o comprimento diminui à metade a cada circunferência. Assim, temos uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ . Cuja sequência formada é:

$2\pi r;\; \pi r;\; \frac{\pi r}{2} ;\; \frac{\pi r}{4};\;\frac{\pi r}{8}$

Das áreas dos círculos delimitados pelas circunferências

Seguindo a mesma lógica dos itens anteriores, temos:

Área da primeira circunferência: $\pi r^2$

Área da segunda circunferência: $\pi \cdot \left(\frac{r}{2} \right)^2 \Rightarrow \frac{\pi r}{4}$ .

Área da terceira circunferência: $\pi \cdot \left(\frac{r}{4} \right)^2 \Rightarrow \frac{\pi r}{16}$

Observe que a cada circunferência, a área diminui em um quarto. Logo, temos uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{4}$ . E a sequência formada é:

$\pi r^2;\; \frac{\pi r^2}{4} ;\; \frac{\pi r^4}{16} ;\; \frac{\pi r^2}{64} ;\; \frac{\pi r^2}{256}.$

Aprenda mais sobre