Question

Sendo A(3, 1), B(4, -4) e C(-2, 2) os vértices de um triângulo, então esse triângulo é:

a) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles.
c) equilátero.
d) isósceles e não retângulo.

Answer 1

Resposta:

Alternativa (d).

Explicação passo a passo:

$\begin{array}{cccccccccc}&&&y&&&&&&\\&&&|&&&&&&\\&_{C(-2, 2)}&.&|&&&&&&\\&.&&|&.&.&_{A(3, 1)}&&&\\<-&-&-&-&-&-&-&-&->x&&\\&&&|&&&&.&&\\&&&|&&&&.&&\\&&&|&&&&.&&\\&&&|&.&.&.&_{B(4, -4)}&&\\&&&|&&&&&&\end{array}$

Temos que a distância entre dois pontos é dada pela seguinte fórmula:

$d_{AB} = \sqrt{(x_A - x_B)\² + (y_A - y_B)\²}$

Sendo assim, basta calcular a distância entre os três e vermos se têm duas ou mais distâncias iguais. Se for duas, o triângulo é isósceles, se for todas as três, o triângulo é equilátero. Logo, temos que

$d_{AB} = \sqrt{(x_A - x_B)\² + (y_A - y_B)\²}\\d_{AB} = \sqrt{(3 - 4)\² + (1 - (-4))\²} = \sqrt{(-1)\² + (1 +4)\²} = \sqrt{1 + 5\²} = \sqrt{1 + 25}\\d_{AB} = \sqrt{26}$

$d_{AC} = \sqrt{(x_A - x_C)\² + (y_A - y_C)\²}\\d_{AC} = \sqrt{(3 - (-2))\² + (1 - 2)\²} = \sqrt{(3 + 2)\² + (-1)\²} = \sqrt{5\² + 1} = \sqrt{25 + 1}\\d_{AC} = \sqrt{26}$

$d_{CB} = \sqrt{(x_C - x_B)\² + (y_C - y_B)\²}\\d_{CB} = \sqrt{(-2 - 4)\² + (2 - (-4))\²} = \sqrt{(-6)\² + (2 +4)\²} = \sqrt{36 + 6\²} = \sqrt{36 + 36}\\d_{CB} = \sqrt{72}$

Por fim, temos que $d_{AB} = d_{AC} \neq d_{CB}$. Dois lados iguais implica que o triângulo ABC é isósceles.

Agora basta sabermos se é um triângulo retângulo ou não; para isso basta lembrarmos que $H\² = C_1^{2} + C_2^{2}$. Tendo como base que a hipotenusa é sempre o maior lado, basta substituirmos as distâncias que encontramos na fórmula e ver se a igualdade é verdadeira. Com isso, temos

$H\² = C_1^{2} + C_2^{2}\\(\sqrt{72})^{2} = (\sqrt{26})^{2} + (\sqrt{26})^{2}$

Quadrado "cancela" a raiz, assim

$(\sqrt{72})^{2} = (\sqrt{26})^{2} + (\sqrt{26})^{2}\\72 = 26 + 26\\72 = 52$

Como a igualdade é falsa, o triângulo em questão não é retângulo.

Portanto, ele é isósceles e não quadrado.