Question

calcule o valor da expressão log(1/2)+log(2/3)+...log(99/100)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

 importante lembrar que log(x) + log(y) = log(xy)

Daí, essa soma toda é igual a:

log_{10}\left( \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times ...\times 97 \times 98 \times 99}{2 \times 3 \times 4 \times ...\times 98 \times 99 \times 100}\right)log10(2×3×4×...×98×99×1001×2×3×...×97×98×99)

Repare que todos os números de 2 a 99 no numerador e no denominador se "cancelam": 

log_{10}\left(\dfrac{1 \times \not{2} \times \not{3} \times ...\times \not{97} \times \not{98} \times \not{99}}{\not{2} \times \not{3} \times \not{4} \times ...\times \not{98} \times \not{99} \times 100}\right)log10(2×3×4×...×98×99×1001×2×3×...×97×98×99)

Sobra:

\begin{gathered}log_{10}\left( \dfrac{1}{100} \right) = \\ \\ log_{10}\left(10^{-2}} \right) = \\ \\ -2 \cdot log_{10}\left(10} \right) \\ \\ \boxed{-2}\end{gathered}