Question

Se cotg x = 2 e x é agudo, então cos x vale:
$a) \frac{1}{5} \\b)2\sqrt{5} \\c) 3\sqrt{5} \\d) \frac{2\sqrt{5} }{5} \\e) \sqrt{5}$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Primeiro, sabendo que $x$ é agudo, temos que $0\leq x\leq 90^{\circ}$ e, por sua vez, $\cos(x)>0$.

Então, lembre-se que a função $\cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}$. Com isso, teremos que:

$\cot(x)=2\\\\\\ \dfrac{1}{\tan(x)}=2\\\\\\ \tan(x)=\dfrac{1}{2}$

Então, elevamos ambos os lados da igualdade ao quadrado

$(\tan(x))^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\\\\\ \tan^2(x)=\dfrac{1}{4}$

Some $1$ em ambos os lados da igualdade

$\tan^2(x)+1=\dfrac{1}{4}+1\\\\\\ \tan^2(x)+1=\dfrac{5}{4}$

Lembre-se da identidade trigonométrica: $\tan^2(x)+1=\sec^2(x)$ e também que $\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}$.

Assim, teremos:

$\sec^2(x)=\dfrac{5}{4}\\\\\\ \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)^2=\dfrac{5}{4}\\\\\\ \dfrac{1}{\cos^2(x)}=\dfrac{5}{4}$

Isolando $\cos^2(x)$, temos:

$\cos^2(x)=\dfrac{4}{5}$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade

$\sqrt{\cos^2(x)}=\sqrt{\dfrac{4}{5}}\\\\\\ \cos(x)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Racionalizamos o denominador multiplicando a fração por um fator $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$\cos(x)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\ \cos(x)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}~~\checkmark$

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra d).