Question

Alguém pode me ajudar a responder a questão sobre propriedades operatórias do logaritmo ?

Admitindo satisfeitas as condições de existência e aplicando as propriedades operatórias do logaritmo obtenha loga(y), sabendo que Y = (está no anexo)

Answer 1

Considerando logaritmos de mesma base $a,$ as propriedades operatórias básicas são:

$\mathbf{(P1)~~}$ Logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos:

$\mathrm{\ell og}_{a\,}(p\cdot q)=\mathrm{\ell og}_{a\,}p+\mathrm{\ell og}_{a\,}q$


$\mathbf{(P2)~~}$ Logaritmo do quociente é igual à diferença entre os logaritmos:

$\mathrm{\ell og}_{a}\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=\mathrm{\ell og}_{a\,}p-\mathrm{\ell og}_{a\,}q$


$\mathbf{(P3)~~}$ Logaritmo da potência é o expoente vezes o logaritmo da base da potência:

$\mathrm{\ell og}_{a}(p^{k})=k\cdot \mathrm{\ell og}_{a\,}p$
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Nesta questão, é dada a seguinte expressão:

$y=\dfrac{3m^{2}\,(n+1)^{2}}{(m+2)^{3}\,(n-1)}$


Tomando o logaritmo da expressão acima, e usando as propriedades operatórias, temos

$\mathrm{\ell og}_{a\,}y=\mathrm{\ell og}_{a}\!\left[\dfrac{3m^{2}\,(n+1)^{2}}{(m+2)^{3}\,(n-1)} \right ]\\ \\ \\ =\mathrm{\ell og}_{a}\!\left[3m^{2}\,(n+1)^{2} \right ]-\mathrm{\ell og}_{a}\!\left[(m+2)^{3}\,(n-1) \right ]\\ \\ \\ =\mathrm{\ell og}_{a}(3m^{2})+\mathrm{\ell og}_{a}\!\left[(n+1)^{2} \right]-\left[\mathrm{\ell og}_{a}\!\left[(m+2)^{3} \right ]+\mathrm{\ell og}_{a}(n-1) \right ]\\ \\ \\ =\mathrm{\ell og}_{a}(3m^{2})+2\,\mathrm{\ell og}_{a}(n+1)-\left[3\,\mathrm{\ell og}_{a}(m+2)+\mathrm{\ell og}_{a}(n-1) \right ]\\ \\ \\ =\mathrm{\ell og}_{a}(3)+\mathrm{\ell og}_{a}(m^{2})+2\,\mathrm{\ell og}_{a}(n+1)-\left[3\,\mathrm{\ell og}_{a}(m+2)+\mathrm{\ell og}_{a}(n-1) \right ]\\ \\ \\ =\mathrm{\ell og}_{a}(3)+2\,\mathrm{\ell og}_{a}(m)+2\,\mathrm{\ell og}_{a}(n+1)-3\,\mathrm{\ell og}_{a}(m+2)-\mathrm{\ell og}_{a}(n-1)$