Question

calcule a soma 1+2^2+2^4+2^6+2^8+2^10

Answer 1

Tomemos a seguinte sequência:

$(1,\;2^{2},\;2^{4},\;2^{6},\;2^{8},\;2^{10})\\ \\ (2^{0},\;2^{2},\;2^{4},\;2^{6},\;2^{8},\;2^{10})\\ \\ (2^{2\,\cdot\,0},\;2^{2\,\cdot\,1},\;2^{2\,\cdot\,2},\;2^{2\,\cdot\,3},\;2^{2\,\cdot\,4},\;2^{2\,\cdot\,5})\\ \\ \left((2^{2})^{0},\;(2^{2})^{1},\;(2^{2})^{2},\;(2^{2})^{3},\;(2^{2})^{4},\;(2^{2})^{5}\right)\\ \\ \left(4^{0},\;4^{1},\;4^{2},\;4^{3},\;4^{4},\;4^{5}\right)$


Esta sequência é uma progressão geométrica de razão $q=4.$ A fórmula do termo geral desta P.G. é

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\\ \\ a_{n}=1\cdot 4^{n-1}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}a_{n}=4^{n-1} \end{array}}\,,~~~~\text{com }n=1,\;\ldots,\;6$
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Queremos saber a soma dos seis termos desta P.G. A soma é dada por

$S_{n}=\dfrac{a_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}$


Para $n=6,$ temos

$S_{6}=\dfrac{a_{1}\cdot (q^{6}-1)}{q-1}\\ \\ \\ S_{6}=\dfrac{1\cdot (4^{6}-1)}{4-1}\\ \\ \\ S_{6}=\dfrac{1\cdot (4\,096-1)}{3}\\ \\ \\ S_{6}=\dfrac{4\,095}{3}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} S_{6}=1\,365 \end{array}}$