Question

Me ajudem galera! Calculo 3.. pergunta e alternativas em anexo.

Answer 1

Considere um ponto $(x,\;y,\;z)$ do espaço em coordenadas retangulares.

Podemos descrever este mesmo ponto, em função de uma distância $\rho$ e dois ângulos $\theta$ e $\varphi:$

(Relações de transformação de coordenadas esféricas para retangulares):

$\left\{ \begin{array}{l} x=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\cos \theta\\ \\ y=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\,\mathrm{sen\,}\theta\\ \\ z=\rho\cos \varphi \end{array} \right.$


As relações de transformação inversa são:

$\left\{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ \\ \theta=\mathrm{arctg}\,\dfrac{y}{x}\\ \\ \varphi=\arccos\dfrac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \end{array} \right.$


Obs.: Para o ângulo $\theta,$ a função $\mathrm{arctg}$ leva em conta o quadrante em que se encontra a projeção do ponto $(x,\;y,\;z)$ sobre o plano $xy.$

_________________________________

Dado o ponto $(3,\;1,\;2)$ em coordenadas retangulares (cartesianas), vamos encontrar as coordenadas esféricas deste ponto:

$\bullet\;\;\rho=\sqrt{3^{2}+1^{2}+2^{2}}\\ \\ \rho=\sqrt{9+1+4}\\ \\ \rho=\sqrt{14}\approx 3,742\\ \\ \\ \bullet\;\;\theta=\mathrm{arctg\,}\dfrac{1}{3}\approx 0,322\mathrm{~rad}\approx 18,43^{\circ}\\ \\ \\ \bullet\;\;\varphi=\arccos\dfrac{2}{\sqrt{14}}\approx 1,007\mathrm{~rad}\approx 57,69^{\circ}$


A resposta que mais se aproxima é a letra d.

(Deveria estar indicado que os ângulos estão em graus... :-/)