Question

Calcule o valor de m na equação x2 - 6x + 2m = 0, de modo que uma das raízes seja o dobro da outra. a) m=0 b) m = 1. c) m = 3 d) m = 4.​

Answer 1

M deverá ter valor 4

$\boxed{\rm \bf Alternativa\:correta \Rightarrow D}$

Ao resolvermos as equações do segundo grau, nós temos 3 possibilidades para para os valores das raízes reais:

• Duas raízes reais distintas: $\bf \Delta > 0 \Rightarrow x_{1} \neq x_{2} \in \mathbb{R}$
• Uma raiz real: $\bf \Delta = 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} \in \mathbb{R}$
• Nenhuma raiz: $\bf \Delta < 0 \Rightarrow x_{1}\:e\:x_{2} \notin \mathbb{R}$

Os coeficientes da equação são:

• A: 1
• B: -6
• C: 2m

$\bf \boxed{\bf 1}x^{2}\:\:\boxed{\bf -6}x +\boxed{\bf 2m}=0\\A\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:B\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:C$

E para realizar o cálculo, podemos assimilar para $\bf \Delta > 0$ a equação de soma das raízes, para encontrar o somatório:

$\bf x'+x'' = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\x'+x'' = \dfrac{-\diagdown\!\!\!\!\!2b}{\diagdown\!\!\!\!\!2a}\\\boxed{\bf x'+x'' = \dfrac{-b}{a}}$

◕ Hora do cálculo

Como requisito, uma das raízes deve ser o dobro da outra, ou seja x'' = 2x.

Aplicando a fórmula para encontrar x':

$\bf x + 2x = \dfrac{-(-6)}{1}\\3x = 6\\x=\dfrac{6}{3}\\\boxed{\bf x=2}$

Encontrado o valor de x' como 2, conclui-se que x" = 4, ou seja:

$\bf x' \times x'' = \dfrac{c}{a}\\2 \times 4 = \dfrac{2m}{1}\\2m=8\\m=\dfrac{8}{2}\\\boxed{\bf m=4}$

Logo, para que a equação ter uma das raízes como o dobro da outra, M deve ter valor 4.

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Dúvidas? Estarei a disposição para eventuais esclarecimentos.

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