Question

a) Dada a sequência abaixo, qual o próximo termo? Qual é a lei de formação da sequência ? 1, 5, 10, 16, .?. *

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b) Dada a sequência, 45, 39, 34, 30, ... Determine o 5°, 6° e 7° termo. *

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c) Dada a sequência 2, 8, 32, 128, ... Determine 5°, 6° e 7° termo. *

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d) Dada a sequência 3,6,18, 72, ... Determine 5°, 6° e 7° termo. *

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Ajudem me por favor e urgente

Answer 1

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⠀⠀☞ a) n₅ = 23 e sua lei de formação é n₁ + ₀∑ⁿ⁻¹ (4 + i). b) n₅, n₆ e n₇ = 27, 25 e 24. c) n₅, n₆ e n₇ = 256, 2.048 e 8.192. d) n₅, n₆ e n₇ = 360, 2.160 e 15.120. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Podemos observar que nenhuma das sequências é progressão aritmética ou progressão geométrica. Sendo sequências em que cada termo pode ser encontrado a partir de seus anteriores então temos o que chamamos de sequências recursivas.

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$\huge\pink{\sf a)~1, 5, 10, 16, ?}$

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       $\blue{\Large\begin{cases}\sf~n_1 = 1 \\\\ \sf~n_2 = n_1 + 4\\\\ \sf~n_3 = n_2 + 5 = (n_1 + 4) + 5 = n_1 + (4 + 5)\\\\\sf~n_4 = n_3 + 6 = (n_1 + (4 + 5)) + 6 = n_1 + (4 + 5 + 6)\end{cases}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma podemos relacionar cada termo com o seu índice (posição que o termo ocupa na sequência) da seguinte forma:

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                                   $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf n_i = n_1 + \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} 4 + i}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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                $\blue{\Large\begin{cases}\sf~n_1 = 1 \\\\ \sf~n_2 = 1 + (4 + 0) = 5\\\\ \sf~n_3 = 1 + [(4 + 0) + (4 + 1)] = 10\\\\\sf~n_4 = 1 + [(4 + 0) + (4 + 1) + (4 + 2)] = 16\end{cases}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Assim sendo nosso próximo termo será:

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$\Large\blue{\sf n_5 = 1 + [(4 + 0) + (4 + 1) + (4 + 2) + (4 + 3)]}$

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$\Large\blue{\sf n_5 = 1 + [4 + 5 + 6 + 7]}$

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$\Large\blue{\sf n_5 = 1 + 22 = 23}$

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                                            $\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{a)}~\gray{n_5}~\pink{=}~\blue{ 23 }~~~}}$ ✅

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$\huge\pink{\sf b)~45, 39, 34, 30, ?, ?, ?}$

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                       $\blue{\Large\begin{cases}\sf~n_1 = 45 \\\\ \sf~n_2 = 39 = n_1 - 6\\\\ \sf~n_3 = 34 = n_1 - (6 + 5)\\\\\sf~n_4 = 30 = n_1 - (6 + 5 + 4)\\\\\sf~n_5 = 27 = n_1 - (6 + 5 + 4 + 3)\\\\\sf~n_6 = 25 = n_1 - (6 + 5 + 4 + 3 + 2)\\\\\sf~n_7 = 24 = n_1 - (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)\end{cases}}$

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                                     $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf n_i = n_1 - \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} 6 - i}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀                                  

                                            $\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\red{b)}~\blue{ 27, 25, 24 }~~~}}$ ✅

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$\huge\pink{\sf c)~2, 8, 32, 128, ?, ?, ?}$

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                                               $\blue{\Large\begin{cases}\sf~n_1 = 2 \\\\ \sf~n_2 = 8 = n_1^3\\\\ \sf~n_3 = 32 = n_1^5\\\\\sf~n_4 = 128 = n_1^7\\\\\sf~n_5 = n_1^9 = 256\\\\\sf~n_6 = n_1^{11} = 2.048\\\\\sf~n_7 = n_1^{13} = 8.192\end{cases}}$

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                                            $\huge\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf n_i = n_1^{(2 \cdot i - 1)}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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                                  $\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\blue{ 256, 2.048, 8.192 }~~~}}$ ✅

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$\huge\pink{\sf d)~3, 6, 18, 72, ?, ?, ?}$

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                                $\blue{\Large\begin{cases}\sf~n_1 = 3 \\\\ \sf~n_2 = 6 = n_1 \cdot 2\\\\ \sf~n_3 = 18 = n_1 \cdot (2 \cdot 3)\\\\\sf~n_4 = 72 = n_1 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4)\\\\\sf~n_5 = n_1 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = 360\\\\\sf~n_6 = n_1 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6) = 2.160\\\\\sf~n_7 = n_1 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6) = 15.120\end{cases}}$

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                                                $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf n_i = n_1 \cdot \displaystyle\prod_{i = 1}^{n} i}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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                                        $\Large\green{\boxed{\rm~~~\red{d)}~\blue{ 360, 2.160, 15.120 }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre sequências recorrentes:

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