Question

A tabela abaixo mostra a frequência da variável “peso”, resultante de uma pesquisa feita com 25 pessoas. Com base nestas informações determine o que se pede a seguir:

a) Complete corretamente a coluna da frequência relativa;

b) O valor da Média, mediana e moda desta variável;

c) Os valores da Variância e do Desvio padrão.

d) Esboce um gráfico, do tipo que julgar mais adequado, demonstrando a frequência de cada intervalo da variável.

Answer 1

A partir da pesquisa apresentada, pode-se concluir os resultados a seguir:

A) Frequência relativa

Mostra o quantitativo de ocorrências que um determinado dado ocorreu em relação ao quantitativo total.

Pode ser determinada pela seguinte fórmula:

$\large\begin{array}{lr}\bf F_{R} = \dfrac{F_{A}}{\sum F_{A}}\end{array}\normalsize\begin{cases}\bf F_{R} \Rightarrow \sf Frequ\hat{e}ncia\:relativa\\\bf F_{A} \Rightarrow \sf Frequ\hat{e}ncia\:acumulada\\\bf \sum F_{A} \Rightarrow \sf Somat\acute{o}rio\:da\:frequ\hat{e}ncia\:acumulada\end{cases}$

Calculando cada frequência relativa, temos:

$\bf 38\:|-\:44 \Rightarrow F_{R} = \dfrac{4}{25} \Rightarrow\boxed{\bf F_{R} = 0,16}$

$\bf 44\:|-\:50 \Rightarrow F_{R} = \dfrac{3}{25} \Rightarrow\boxed{\bf F_{R} = 0,12}$

$\bf 50\:|-\:56 \Rightarrow F_{R} = \dfrac{9}{25} \Rightarrow\boxed{\bf F_{R} = 0,36}$

$\bf 56\:|-\:62 \Rightarrow F_{R} = \dfrac{3}{25} \Rightarrow\boxed{\bf F_{R} = 0,12}$

$\bf 62\:|-\:68 \Rightarrow F_{R} = \dfrac{6}{25} \Rightarrow\boxed{\bf F_{R} = 0,24}$

Completando a tabela:

$\begin{tabular}{| c | c | c |}\cline{1-3}\multicolumn{1}{|l|}{\bf Peso\:\sf (Kg)} & \multicolumn{1}{l|}{\bf F_{A}} & \multicolumn{1}{l|}{\bf F_{R}} \\ \cline{1-3}38 \textbar{}\hrulefill\: 44 & 4 & 0,16 \\ \cline{1-3}44 \textbar{}\hrulefill\: 50&3 & 0,12 \\ \cline{1-3}50 \textbar{}\hrulefill\: 56&9 & 0,36 \\ \cline{1-3}56 \textbar{}\hrulefill\: 62&3 & 0,12 \\ \cline{1-3}62 \textbar{}\hrulefill\: 68&6 & 0,24 \\ \cline{1-3}\multicolumn{1}{|c}{\textbf{Total}} & 25 & 1 \\\cline{1-3}\end{tabular}$

B) Média, mediana e moda

Definem um valor central comum a todo o conjunto de informações

Média aritmética

$\large\begin{array}{lr} \bf M_{a} = \dfrac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \end{array}\normalsize\begin{cases}\bf{a}\Rightarrow \textsf{Valores}\\\textbf{n}\Rightarrow \textsf{Quantidade total}\end{cases}$

Calculando a média, temos:

$\bf M_{a} = \dfrac{25}{5}\\\boxed{\bf M_{a} = 5}$

Mediana

Como o quantitativo de valores do conjunto é impar, pode ser definida a mediana como o valor central, ou seja, a mediana é 4:

$\bf (3, 3, \boxed{\bf 4}, 6, 9)$

Moda

O valor que mais aparece no conjunto, ou seja, a moda do conjunto é 3

$\bf (\boxed{\bf 3}, \boxed{\bf 3}, 4, 6, 9)$

C) Variância e Desvio padrão

Podemos verificar a dispersão e a distancia entre os valores do conjunto

Variância

$\large\begin{array}{lr}\sigma^{2} = \displaystyle\sum\limits_{\sf i=n}^{\sf n} \dfrac{(\sf x_{i} - M_{a})}{\bf n-1}^{\bf 2}\end{array}\normalsize\begin{cases}\bf \sigma^{2}\Rightarrow \sf Vari\hat{a}ncia\\\bf x_{i} \Rightarrow \sf Valor\:em\:an\acute{a}lise\\\bf M_{a} \Rightarrow \sf M\acute{e}dia\:aritim\acute{e}tica\\\bf n \Rightarrow \sf Quantidade\:total\end{cases}$

$\bf \sigma^{2} = \dfrac{(4-5)^{2} + (3-5)^{2} + (9-5)^{2} + (3-5)^{2} + (6-5)^{2}}{5-1}\\\sigma^{2} = \dfrac{(-1)^{2} + (-2)^{2} + (4)^{2} + (-2)^{2} + (1)^{2}}{4}\\\sigma^{2} = \dfrac{1+4+16+5+1}{4}\\\sigma^{2} = \dfrac{26}{4}\\\boxed{\bf \sigma^{2} = 6,5}$

A variância do conjunto é de 6,5

Desvio padrão

$\large\begin{array}{lr}\bf D_{p} = \sqrt{\sigma^{2}}\end{array}\normalsize\begin{cases}\bf D_{p} \Rightarrow \sf Desvio\:padr\tilde{a}o\\\bf \sigma^{2}\Rightarrow \sf Vari\hat{a}ncia\end{cases}$

$\bf D_{p} = \sqrt{\sigma^{2}}\\D_{p} = \sqrt{6,5}\\\boxed{\bf D_{p} \approx 2,55}$

Neste conjunto o desvio padrão é de aproximadamente 2,55

Gráfico de intervalo

Basta converter cada frequência relativa em porcentagem, multiplicando por 100.

$\bf 38\:|-\:44 \Rightarrow 0,16 \times 100 \Rightarrow \boxed{\bf 16\%}$

$\bf 44\:|-\:50 \Rightarrow 0,12 \times 100 \Rightarrow\boxed{\bf 12\%}$

$\bf 50\:|-\:56 \Rightarrow 0,36\times 100 \Rightarrow\boxed{\bf 36\%}$

$\bf 56\:|-\:62 \Rightarrow 0,12\times 100 \Rightarrow\boxed{\bf 12\%}$

$\bf 62\:|-\:68 \Rightarrow 0,24\times 100 \Rightarrow\boxed{\bf 24\%}$

(O gráfico estará em anexo)

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