Question

Mostre que f(x, y) = ex cos(xy) é diferenciável em (0, 0).

Answer 1

la función es la siguiente $f(x,y)=e^x\cos(xy)$ 

Inicialmente supongamos que sea diferenciable, es decir

               $df(0,0)=f_x(0,0)h+f_y(0,0)k\\ \\ \boxed{df(0,0)=h}$

Ahora debemos probar que existe una transformación lineal $\lambda=\lambda (h,k)$ tal que 

$L=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \dfrac{|f(0+h,0+k)-f(0,0)-\lambda(h,k)|}{\|(h,k)\|}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \dfrac{|e^h\cos(hk)-1-\lambda(h,k)|}{\|(h,k)\|}\\ \\ \\ L\leq\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \dfrac{|e^h\cos(hk)-1-\lambda(h,k)|}{|h|}\\ \\ \\ \text{Si colocamos }\lambda(h,k)=h\text{ obtenemos: }\\ \\ \\ \lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \dfrac{|e^h\cos(hk)-1-h|}{|h|}=0$

Y además la función $\lambda(h.k)=h$ es única, puesto que si se tiene $\lambda(h,k)=h+\beta k$ tendríamos una indeterminación a la hora de hallar el límite. Por ello la función susodicha es diferenciable en (0,0)