Question

O vetor w tem módulo 7, forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores u = i + 2j e v = i + 4j + 3k. Pede-se w.

Answer 1

Primeiramente é preciso deixar claro que "i", "j" e "k", são os vetores unitário, respectivamente, (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
então,
u = (1, 2, 0)
v = (1, 4, 3)
Um vetor que é ortogonal a ambos os vetores é u X v

$u X v = det( \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&0\\1&4&3\end{array}\right] )$ 

calculando o determinante de u x v, encontramos o vetor w, (6, -3, 2),
que por sinal tem módulo 7, veja

$\sqrt{36 + 4 + 9} = 7$

e também é possível perceber que esse vetor, forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas, veja

$cos( \alpha ) = \frac{(\ \textless \ (6, -3, 2),(1,0,0)\ \textgreater \ )}{||w||.||z||} = \frac{6}{7}$

Logo, w = (6, -3, 2)