Question

A área do quadrilátero definido pelas retas y-x=0, y-2x-3=0, 2y+x=0 e 2y+x-6=0 é??

Answer 1

Resposta:

A área do quadrilátero é igual a $A_{ABCD}=\dfrac{24}{5} \ u.a.$.

Explicação passo a passo:

Para determinar a área de um quadrilátero convexo vamos utilizar o Operador Condição de Alinhamento de Pontos - OCAP da seguinte forma:

$A_{poligono}=\dfrac{|OCAP|}{2}$

Esse operador funciona basicamente da mesma forma que o determinante, porém com a vantagem de poder ser aplicado para qualquer polígono convexo e não apenas para triângulos.

O primeiro passo é encontrar as coordenadas que representam os vértices do quadrilátero a partir da interseção das retas.

Utilizando a figura para facilitar a visualização temos:

Ponto A interseção entre as retas 2y + x = 0 e y - 2x - 3 = 0

$x = - 2y \Rightarrow y-2(-2y)-3=0\Rightarrow y=\dfrac{3}{5} \ e \ x=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow A=\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{3}{5}\right)$

Ponto B interseção entre as retas 2y + x = 0 e y - x = 0

$x=-2y\Rightarrow y-(-2y)=0\Rightarrow y=0 \ e \ x=0\Rightarrow B=(0,0)$

Ponto C interseção entre as retas y - x = 0 e 2y + x - 6 = 0

$y=x\Rightarrow 2x+x-6=0\Rightarrow x=2 \ e \ y=2\Rightarrow C=(2,2)$

Ponto D interseção entre as retas y - 2x - 3 = 0 e 2y + x - 6 = 0

$y=2x+3\Rightarrow 2(2x+3)+x-6=0\Rightarrow x=0 \ e \ y=3\Rightarrow D=(0,3)$

Agora vamos calcular o OCAP com as coordenadas dos vértices do quadrilátero.

$OCAP=0+0+0-\dfrac{18}{5}-0-0-6-0=-\dfrac{48}{5}$

Por fim calculamos a área do quadrilátero:

$A_{ABCD}=\dfrac{\left|-\dfrac{48}{5}\right|}{2}=\dfrac{24}{5} \ u.a.$