Question

URGENTE
6) Quais são as dimensões de um retângulo, com área de 24 m² e perímetro de 20 m?

Answer 1

As dimensões deste retângulo são: Lado maior é 6 metros e lado menor é 4 metros.

• Sabendo que o perímetro (p) é a soma de todos os lados de uma figura geométrica e que um retângulo possui 2 lados maiores (LM) e 2 lados menores (lm), temos:

$p = lado1+lado2+lado3+lado4\\\\\Large\boxed{20=2LM+2lm~(\text{equa\c{c}\~ao 1)}}$

• Aplicando a fórmula que calcula a área do retângulo:

$A=c\cdot l\\\\\Large\boxed{24=LM\cdot lm~\text{(equa\c{c}\~ao 2)}}$

• Assim, caímos num sistema de equações:

$\Large\left\{\begin{array}{l}2LM+2lm=20\;\text{(equa\c{c}\~ao 1)}\\\\LM\cdot lm=24\;\text{(equa\c{c}\~ao 2)}\\\end{array}\right$

• Aplicando o método da substituição:

Isolando LM da equação 2:

$\Large\boxed{LM=\dfrac{24}{lm}}$

Substituindo LM na equação 1:

$2LM+2lm=20\\\\2(\dfrac{24}{lm})+2lm=20\\\\\dfrac{48}{lm}+2lm=20\\\\\dfrac{48+2lm^2}{\diagup\!\!\!\!\!lm}=\dfrac{20lm}{\diagup\!\!\!\!\!lm}\\\\(2lm^2-20lm+48=0)\div2\\\\\Large\boxed{lm^2-10lm+24=0}$

Resolvendo a equação do 2º grau:

$\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot24\\\\\Delta=100-96\\\\\Large\boxed{\Delta=4}\\\\\\lm=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\lm=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}\\\\\Large\boxed{lm=\dfrac{10\pm2}{2}}\\\\\\\boxed{\large\begin {array}{l}lm'=\dfrac{10+2}{2}\\\\\Large\boxed{\boxed{lm'=6}}\Huge\text{X}\end {array}}\quad\quad\boxed{\large\begin {array}{l}lm"=\dfrac{10-2}{2}\\\\\Large\boxed{\boxed{lm"=4}}\Huge\checkmark\end {array}}$

Temos 2 raízes, mas como o valor encontrado refere-se ao LADO MENOR (lm), devido ao 4 ser menor que o 6, descartaremos o 6. Desta forma, lm=4 m.

• Substituindo lm em LM:

$LM=\dfrac{24}{lm}\\\\LM=\dfrac{24}{4}\\\\\Large\boxed{LM=6~m}\Huge\checkmark$

Portanto, as dimensões deste retângulo são: Lado maior é 6 metros e lado menor é 4 metros.

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Bons estudos!