Question

Mostrar que se A ⊂ B, então A ∪ B = B A ∩ B = A.

Answer 1

(a) Mostrar que se $A \subset B\,,$ então $A\cup B=B.$

Por hipótese, temos que

$x\in A~\Rightarrow~x\in B~~~~~~\mathbf{(i)}$


e também é sempre verdade que

$x\in B~\Rightarrow~x\in B~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Logo, por ambos os casos $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$

$x\in A~\text{ ou }~x\in B~\Rightarrow~x\in B\\ \\ x\in A\cup B~\Rightarrow~x\in B\\ \\ \therefore~A\cup B\subset B~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Por outro lado,

$x\in B~\Rightarrow~x\in A~\text{ ou }~x\in B\\ \\ x\in B~\Rightarrow~x\in A\cup B\\ \\ \\ \therefore~B\subset A\cup B~~~~~~\mathbf{(iv)}$

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Logo, por $\mathbf{(iii)}$ e $\mathbf{(iv)},$ concluímos que

$A\cup B\subset B~\text{ e }~B\subset A\cup B~\Rightarrow~A\cup B=B.$

como queríamos demonstrar.


(b) Mostrar que se $A \subset B\,,$ então $A\cap B=A.$

$x\in A\cap B~\Rightarrow~x\in A~\text{ e }~x\in B~\Rightarrow~x\in A\\ \\ \therefore~A\cap B\subset A~~~~~~\mathbf{(v)}$

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É sempre verdade que

$x\in A~\Rightarrow~x\in A~~~~~~\mathbf{(vi)}$


E por hipótese, temos que

$x\in A~\Rightarrow~x\in B~~~~~~\mathbf{(vii)}$


Portanto, por $\mathbf{(vi)}$ e $\mathbf{(vii)},$ chegamos a

$x\in A~\Rightarrow~x\in A~\text{ e }~x\in B~\Rightarrow~x\in A\cap B\\ \\ \therefore~A\subset A\cap B~~~~~~\mathbf{(viii)}$

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Logo, por $\mathbf{(v)}$ e $\mathbf{(viii)},$ concluímos que

$A\cap B\subset A~\text{ e }~A\subset A\cap B~\Rightarrow~A\cap B=A.$

como queríamos demonstrar.