Question

– Determine a posição relativa entre a reta
r: 3x + 4y − 15 = 0 e a circunferência λ: x2 + y2 = 9.

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação

Explicação passo a passo:

Pra resolver esta questão devemos calcular a distância "D" entre o o centro C da circunferência λ e a reta r.

Devemos levar em consideração três situações:

1º) A reta r será secante à circunferência λ se, e somente se, a distância entre o centro C e a reta r for menor que r, ou seja:

                                                     $D(C, r) < r$

2º)A reta r será tangente à circunferência λ se, e somente se, a distância entre o centro C e a reta r for igual a r, ou seja:

                                                     $D(C, r) = r$

3º)A reta r será externa à circunferência λ se, e somente se, a distância entre o centro C e a reta r for maior que r, ou seja:

                                                      $D(C, r) > r$

A circunferência λ: x² + y² = 9, cujo centro é C = (0, 0) e o  raio r = √9 = 3

A reta r: 3x + 4y - 15 = 0, cujos coeficientes são: a = 3, b = 4 e c = -15

Calculando a distância entre o centro C, da circunferência λ, e a reta r, temos:

$D(C, r) = \frac{|aXc + bYc + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } } = \frac{|3.0 + 4.0 + (-15)|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} } } = \frac{|0 + 0 - 15|}{\sqrt{9 + 16} } = \frac{|- 15|}{\sqrt{25} } = \frac{15}{5} = 3$

Portanto, se D(C, r) = 3 e o raio r = 3, então:

                                $D(C, r) = r$

Portanto, a reta r é tangente à circunferência λ.