Question

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(1,-1,0) e é perpendicular a reta r.

Answer 1

Resposta:

s(μ):

x = 1 + -4μ/3

y = -1 + 8μ/3

z = -4μ/3

Resolução:

A reta r, descrita por

r(λ):

x = λ

y = 2 - λ

z = -1 + λ

Pode ser descrita em forma vetorial, assim:

r(λ) = (λ, 2 - λ, -1 + λ) = λ(1, 1, 1) + (0, 2, -1)

Seja s a reta que satisfaz às condições do enunciado. Para que s seja perpendicular à r, sendo s(μ) = μ(a, b, c) + (1, -1, 0) sua descrição vetorial, é necessário que (i): (a, b, c) seja perpendicular ao vetor (1, 1, 1). Isto é evidente pois a reta descrita por r(λ) = λ(1, 1, 1) + (0, 2, -1) é paralela àquela descrita por r'(λ) =λ(1, 1, 1), e a reta descrita por s(μ) = μ(a, b, c) + (1, -1, 0) é paralela àquela descrita por s'(μ) = μ(a, b, c). Além disso, precisamos ter que (ii): as duas retas devem se encontrar em um ponto.

(i) (a, b, c)•(1, 1, 1) = 0:

a + b + c = 0

(ii) μ(a, b, c) + (1, -1, 0) = λ(1, 1, 1) + (0, 2, -1):

μa + 1 = λ

μb - 1 = λ + 2

μc = λ - 1

Somando as três equações em (ii) e usando a identidade em (i), temos

μ(a + b + c) = 3λ + 1

0 = 3λ + 1

λ = -1/3

Logo, as retas se encontram em r(-1/3) = (-1/3, 5/3, -4/3).

Como temos dois pontos pelos quais a reta s passa, (1, -1, 0) e (-1/3, 5/3, -4/3), não precisamos achar sua descrição vetorial; podemos imediatamente escrever as equações paramétricas. Sabe-se que as equações paramétricas de uma reta que passa por (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) são

x = x1 + μ(x2 - x1)

y = y1 + μ(y2 - y1)

z = z1 + μ(z2 - z1)

Podemos escolher (x1, y1, z1) = (1, -1, 0) e (x2, y2, z2) = (-1/3, 5/3, -4/3). Temos

x = 1 + μ(-1/3 - 1)

y = -1 + μ(5/3 + 1)

z = 0 + μ(-4/3 - 0)

Simplificando,

x = 1 + -4μ/3

y = -1 + 8μ/3

z = -4μ/3.