Question

Um corpo de massa de 10 kg parte de repouso do alto de um plano inclinado de um ângulo θ = 30°,conforme representa a figura, escorregando sem sofrer ação de atritos ou da resistência do ar até atingir um plano horizontal áspero de coeficiente de atrito cinético μ = 0,20. Sabendo que o corpo gasta dois segundos para descer o plano inclinado, determine:

a) A duração total do movimento

b) As distâncias percorridas pelo corpo no plano inclinado e no plano horizontal

Answer 1

Resposta:

A) Tempo de 7 segundos

B) Percorreu 35 metros

Explicação:

Primeiramente, temos dois momentos:

1) Quando o corpo está descendo, sem atritos

2) Quando o corpo está no plano horizontal, em movimento uniformemente variado, com a inércia que adquiriu na situação 1)

Após isso, vamos calcular as forças na situação 1):

Como o problema diz que não há atrito na situação 1, não existe necessidade de calcularmos a força Pn atuante sobre o bloco, somente Pt, a única responsável por alterar seu movimento:

$P_t = P * sen\theta \\P_t = ( m * g ) * sen30\\P_t = (10 * 10) * \frac{1}{2} \\P_t = 100 * \frac{1}{2}\\P_t = \frac{100}{2} = 50N$

Portanto, temos uma força de 50N atuando sobre o objeto. Nosso intuito é calcular a aceleração, e sabemos que F = m * a, logo:

$F = m * a\\50 = m * a\\50 = 10 *a \\10* a = 50\\a = 5m/s^2$

Usando essa informação, podemos inferir que durante 2 segundos a 5m/s² percorremos 10m. Guardemos esse dado para depois.

$S = S_0 + VoT + \frac{\alpha }{2}t^2\\S = 0 + 0 + \frac{5}{2} 2^2\\S = 5 * 2\\S = 10$

Sabendo que a aceleração é 5m/s², a velocidade inicial = 0 e o texto nos dando que esta etapa durou 2 segundos, usando a fórmula de velocidade final por tempo e aceleração, obtemos:

$V_f = V_i + \alpha t\\\\V_f = 0 +5*2 \\V_f = 10m/s^$

Portanto, ao encostar na etapa 2), a partícula tinha a velocidade de 10m/s

Nosso próximo passo é calcular o Fat, dado por:

$F_at = u * Fn\\F_at = u * P\\F_at = 0,2 * (m * g)\\F_at = 0,2 * (10 * 10)\\F_at = 0,2 * 100\\F_at = 20N$

Novamente, sabendo que F = m * a, obtemos:

$F = m * a \\20 = 10 * a\\10a = 20\\a = 2m/s^2$

O móvel adquiriu aceleração retardada de 2m/s² ao entrar em contato com a superfície áspera.

Considerando que a Fat é contrária ao movimento, vamos adotar a partir de agora nos cálculos que seu sinal é negativo.

Usando a equação de MUV sem o tempo, considerando que a velocidade final é 0 (quando a partícula para), a velocidade inicial de 10m/s e aceleração de -2m/s², temos:

$V^2 = V_0 ^2 +2\alpha S \\0 = 10^2 - 2*2 *S\\0 = 100 - 4 * S\\-4*S = -100\\S = \frac{100}{4} = 25m$

Portanto, a partícula percorreu 25m.

Somando 25m + 10m do movimento 1), obtemos 35m.

A partir de agora, só nos resta saber quando tempo a partícula demorou na etapa 2) até parar, usando a seguinte fórmula (velocidade inicial de 10m/s, aceleração de -2m/s² e velocidade final de 0m/s):

$V = V_i + \alpha t\\0 = 10 -2t\\-2t = -10\\t = 5s$

Sabendo que a etapa 1) demorou 2 segundos e a etapa 2) demorou 5 segundos, obtemos 5+2 = 7 segundos.