Question

Três forças atuam sobre uma partícula: F1, de módulo 130N, na direção que forma com o setor negativo do eixo cartesiano x ângulo ascendente de 36°;
F2, de módulo 150N, na direção que forma com o setor negativo do eixo cartesiano x ângulo descendente de 60°;
F3, de módulo 200N, na direção que forma com o setor positivo do eixo cartesiano x ângulo ascendente de 30°;
Calcule módulo e direção, em relação ao setor negativo do eixo cartesiano x, da força resultante.

Answer 1

O vetor resultante tem módulo de 47,06 Newtons, fazendo ângulo descendente no valor de 98,53º com o setor negativo do eixo das abscissas x.

Vamos decompor cada uma das forças em componentes horizontais e verticais, individualmente.

Força F1:

Ela está acima do semi-eixo negativo de x, ou seja, sua componente horizontal será negativa e a vertical positiva. Sendo assim:

$F_{1x} = -F_1cos36^\circ = -130*0,809 = -105,17 N\\\\F_{1y} = F_1sen36^\circ = 130*0,588 = 76,44 N$

Força F2:

Aqui a força está abaixo do semi-eixo negativo x, logo a sua componente horizontal será também negativa, e a vertical negativa nesse caso. Portanto:

$F_{2x} = -F_2cos60^\circ = -150*0,5 = -75 N\\\\F_{2y} = -F_2sen60^\circ = -150*0,866 = -129,9 N$

Força F3:

Por fim, esta força está acima do semi-eixo positivo x, deste modo suas componentes horizontais e verticais serão ambas positivas. Teremos:

$F_{3x} = F_3cos30^\circ = 200*0,866 = 173,2 N\\\\F_{3y} = F_3sen30^\circ = 200*0,5 = 100 N$

As componentes da força resultante dentre essas três forças atuantes sobre a partícula será a soma de cada componente calculado anteriormente:

$F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = -105,17 -75 + 173,2 = -6,97 N\\\\F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 76,44 - 129,9 + 100 = 46,54 N$

E seu módulo valerá:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(-6,97)^2 + 46,54^2} = \sqrt{2214,5525} = 47,06 N$

O seu ângulo, em relação ao semi-eixo positivo x será:

$\theta = tg^{-1}(F_y/F_x) = tg^{-1}[46,54/(-6,97)] = tg^{-1}(-6,677) = -81,47^\circ$

Contudo, a questão nos pede o ângulo entre essa força e o semi-eixo negativo x. Para isso basta fazermos a relação:

$\theta ' = 180^\circ - \theta = 180^\circ - 81,47^\circ = 98,53^\circ$

Logo o vetor resultante F está formando um ângulo descendente de 98,53º em relação ao setor negativo do eixo cartesiano x.

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