Question

Um catavento gigante foi construído próximo aos prédios da Matemática, da Física e da Geologia, como ilustrado na figura abaixo. Um certo dia, quando o catavento girava no sentido anti-horário, de forma que as pontas das hélices tinham uma aceleração centrípeta de 232 m/s2, a ponta de uma das hélices se partiu (aproximadamente na posição mostrada na figura) e foi lançada em direção aos prédios próximos. A ponta da hélice acabou atingindo um dos prédios, tendo uma velocidade de módulo 91,4 m/s e direção 64,2° abaixo da horizontal no instante em que estava atingindo o prédio. Considere a ponta da hélice como uma partícula. Usando g = 9,80 m/s2, desprezando a resistência do ar e sabendo que o comprimento de cada hélice é 20,0 m, determine qual dos prédios foi atingido pela ponta da hélice. Prove matematicamente, colocando como resposta apenas a distância horizontal x entre o ponto em que a ponta da hélice se parte e o ponto onde ela atinge um dos prédios.

Answer 1

Resposta:

A distância percorrida na horizontal é 558,91 m, portanto o prédio atingido foi o de Física.

Explicação:

Podemos escrever a aceleração centrípeta como:

$a_{cp} = \omega^2 / R$

onde ω é a velocidade angular e R o raio da trajetória circular.

Então no nosso caso:

$232 m/s^2 = \omega^2 * 20 => \omega^2 = 232/20 = 11,6\\=> \omega = \sqrt{11,6} = 3,41 rad/s$

Agora podemos calcular a velocidade escalar da ponta da hélice:

$v = \omega * R = 3,41 * 20 = 68,2 m/s$

Vamos chamar o ângulo entre a velocidade inicial da ponta da hélice com a horizontal de α. Temos as equações para as velocidades nos eixos x e y:

$v_x = v * cos \alpha (constante)\\v_y = v * sen \alpha - g * t$

A velocidade no eixo x é constante porque não há forças atuando nesse eixo.

Vamos calcular a velocidade no eixo x no ponto de impacto, ela deverá ser igual à velocidade inicial no eixo x já obtida:

$v'_y = 91,4 * cos 64,2 = 68,2 * cos \alpha\\=> \alpha = 54,32$

Agora vamos utilizar a equação da velocidade no eixo y para determinar o tempo t para o impacto. A velocidade no impacto é a componente da velocidade de 91,4 no eixo y.

$v_y = 68,2 * sen 54,32 - 9,8 * t = -91,4 * sen 64,2\\=> t = 14,05 s$

Usando t = 14,05 s, vamos calcular o deslocamento no eixo x até o impacto:

$s_x = v_x * t = 91,4 * cos 64,2 * t = 39,78 * 14,05 = 558,91 m$

A distância percorrida na horizontal é 558,91 m, portanto o prédio atingido foi o de Física.