Question

1. São dados os pontos A = (3,6, -7), B = (-5,2,3) e C = (4, -7, -6).
a) Escreva equações vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C, e
obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D = (3, 1, 4) pertence a essa reta?

Answer 1

a) Para escrever uma equação vetorial para um reta, precisamos de um ponto e um vetor.

Como a reta $r$ passa pelos pontos $B=(-5,\;2,\;3)$ e $C=(4,\;-7,\;-6),\,$ temos que o vetor $\overrightarrow{BC}$ nos fornece a direção da reta $r.$
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Encontrando o vetor $\overrightarrow{BC}:$

$\overrightarrow{BC}=C-B\\ \\ =(4,\;-7,\;-6)-(-5,\;2,\;3)\\ \\ =(4+5,\;-7-2,\;-6-3)\\ \\ =(9,\;-9,\;-9)\\ \\ =9\cdot (1,\;-1,\;-1)$


Tomando $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\;-1,\;-1),\;$ temos que $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é paralelo a $\overrightarrow{BC}.$ Portanto, podemos usar $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ como vetor diretor da reta $r.$
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Equação vetorial para $r:$

$r:~X=B+\lambda\overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}r:~(x,\;y,\;z)=(-5,\;2,\;3)+\lambda\,(1,\;-1,\;-1) \end{array}}$

com $\lambda \in \mathbb{R}.$
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Da equação vetorial, igualamos as coordenadas dos pontos dos dois lados da igualdade para obtermos equações paramétricas da reta $r:$

$r:~(x,\;y,\;z)=(-5,\;2,\;3)+(\lambda,\;-\lambda,\;-\lambda)\\ \\ r:~(x,\;y,\;z)=(-5+\lambda,\;2-\lambda,\;3-\lambda)$


Equações paraméticas para a reta $r:$

$\begin{array}{cc} \boxed{\begin{array}{c} r:~\left\{\begin{array}{l}x=-5+\lambda\\ y=2-\lambda\\ z=3-\lambda \end{array} \right. \end{array}}&\lambda \in \mathbb{R}. \end{array}$

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Para obter a forma simétrica, temos que isolar o parâmetro $\lambda$ nas três equações paramétricas:

$\lambda=\dfrac{x+5}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} r:~\dfrac{x+5}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1} \end{array}}$

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Existe algum valor de $\lambda\in\mathbb{R}$ de forma que o ponto $D=(3,\;1,\;4)$ satisfaça a equação de $r?$

Para que isto aconteça, usando as equações simétricas, devemos ter

$\dfrac{x+5}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}\\ \\ \\ \dfrac{3+5}{1}=\dfrac{1-2}{-1}=\dfrac{4-3}{-1}\\ \\ \\ \dfrac{8}{1}=\dfrac{-1}{-1}=\dfrac{1}{-1}\\ \\ \\ 8=1=-1~~~~\text{(absurdo)}$


Logo, o ponto $D=(3,\;1,\;4)$ não pertence à reta $r.$