Question

Geometria Analítica - Me ajude, quero com explicaçoes

Answer 1

Veja que a diferença entre os itens a, b e c é apenas a direção da reta. Nos três itens, a reta $r$ passa pelo mesmo ponto $A.$

Basicamente, devemos encontrar o vetor que dá a direção de $r$ em cada caso:


a) A reta $r$ é paralela a outra reta $s$, dada por

$s:~\dfrac{1-x}{5}=\dfrac{3y}{4}=\dfrac{z+3}{6}$


Colocando a equação de $s$ na forma simétrica, temos

$s:~\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-0}{(\frac{4}{3})}=\dfrac{z-(-3)}{6}$


Os denominadores das equações simétricas nos fornecem as coordenadas do vetor diretor de $s:$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(-5,\;\frac{4}{3},\;6 \right )$


Como $r$ e $s$ são paralelas, podemos usar o mesmo vetor diretor de $s$ para a reta $r.$ Portanto, as equações paramétricas de $r$ são

$r:~\left\{ \begin{array}{l} x=2-5\lambda\\ \\ y=0+\frac{4}{3}\,\lambda\\ \\ z=-3+6\lambda \end{array} \right.$

com $\lambda\in\mathbb{R}.$

(note que se fizermos $\lambda=0,$ obtemos justamente o ponto $A$)


b) Neste item, segue que $r$ tem a direção do vetor $\overrightarrow{BC}:$

$\overrightarrow{BC}=C-B\\ \\ \overrightarrow{BC}=(2,\;1,\;3)-(1,\;0,\;4)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(2-1,\;1-0,\;3-4)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(1,\;1,\;-1)$


Logo, podemos tomar como vetor diretor de $r,$ o vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\;1,\;-1).$ Agora, as equações paramétricas são:

$r:~\left\{ \begin{array}{l} x=2+\lambda\\ \\ y=0+\lambda\\ \\ z=-3-\lambda \end{array} \right.$

com $\lambda\in\mathbb{R}.$


c) Observando as equações paramétricas da reta $s',$ tiramos que um vetor diretor de $s'$ é $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-2,\;1,\;-1).$
(basta tomarmos os coeficientes de $\lambda$ de cada equação paramétrica que obtemos as coordenadas do vetor diretor)

Portanto, as equações paramétricas de $r$ são

$r:~\left\{ \begin{array}{l} x=2-2\lambda\\ \\ y=0+\lambda\\ \\ z=-3-\lambda \end{array} \right.$

com $\lambda\in\mathbb{R}.$

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Observe que todas as três retas passam pelo ponto $A.$ Basta tomarmos $\lambda=0$ em todos os casos.