Question

Seja a ≥ 0, prove, por contraposição, que se a²≤ 1 então a ≤ 1. (Demonstração por contraposição)

Answer 1

Resposta:

Explicação:

Answer 2

De fato, se a proposição $\tt a^2 \leq 1$ vale então $\tt a \leq 1$ também é válida.

❏ Define-se como prova por contraposição, ou contrapositiva, toda prova de uma relação de implicação entre duas proposições em que usa-se da negação de ambas. Isso em muitos dos casos acaba por simplificar o raciocínio lógico matemático. Veja abaixo a transcrição para linguagem matemática:

$\large\begin{array}{lr}\tt p\Rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \Rightarrow \neg p\end{array}$

Outra forma de vermos isso de maneira dinâmica é nos baseando em Euclides. No anexo de noções comuns do livro Os Elementos, são apresentados postulados, axiomas que formam a base do pensamento matemático.

Um deles é:

“Se iguais são adicionados a iguais, os totais são iguais”

Isso é extremamente forte e lindo, qualquer manipulação matemática parte desse princípio. Mas aí você me pergunta, onde cabe isso nesse problema?

Simples. Se uma coisa implica noutra, podemos colocar qualquer outra adição numa das proposições se o mesmo for feito na outra, assim a implicação permanecerá a mesma.

Exemplo: Oito é diferente de cinco / Oito mais dois é diferente de cinco mais dois.

❏ Introduzido esse conceito, podemos partir para a resolução.

Pela definição de prova por contraposição, devemos inicialmente negar as proposições.

$\large\begin{array}{lr}\tt a^{2} \leqslant 1 \Rightarrow a \leqslant 1\\\\\tt \neg \left[ a^{2} \leqslant 1\right] \Rightarrow \neg \left[a \leqslant 1\right] \\\\ \tt \therefore \: a ^{2} > 1 \Rightarrow a > 1\end{array}$

Relembre a noção comum que vimos anteriormente. Vamos expandi-la, vamos dizer que coisas iguais feitas a coisas iguais essas coisas resultarão em coisas iguais.

Nesse caso temos uma desigualdade, porém segue a mesma lógica.

Observando $\tt a^{2} > 1 \Rightarrow a > 1$, podemos arrumar um jeito de resolver essa inequação. Sendo $\tt a > 1$, podemos elevar ao quadrado ambos os lados.

$\large\begin{array}{lr}\tt {a} > 1 \\\\\tt {a}^{2} > {1}^{2} \\\\ \tt {a}^{2} > 1 \\\\ \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: {a}^{2} > 1\Rightarrow a>1 }}}\end{array}$

Se negarmos ambos os lados da implicação novamente, voltaremos a ter o que tínhamos

$\large\begin{array}{lr}\tt \neg \left[ {a}^{2} > 1 \right ]\Rightarrow \neg \left[ a>1 \right]\\\\\red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:a^{2} \leqslant 1 \Rightarrow a \leqslant 1}}}\end{array}$

✅ Disso, vemos que a implicação entre as proposições é realmente válida.

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre prova por contraposição:

• https://brainly.com.br/tarefa/5884773
• https://brainly.com.br/tarefa/37025545

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$