Question

determine m de modo que a funcao quadratica f(x)=mx2+(2m_1)x+(m+1) seja positiva para todo x real

Answer 1

Para a funcao ser positiva para todo x real a parabola deve ser concava para cima (a positivo) e o vertice deve ficar acima do eixo x (Δ negativo) entao:

m>0

Jah temos isso,

Sabemos que Δ=b²-4ac

Δ<0
b²-4ac<0
(2m-1)²-4(m)(m+1)<0
4m²-4m+1-4m²-4m<0
-8m+1<0
-8m<-1
m>1/8

Se seu m for maior que 1/8 qualquer x real que vc ponha vai te dar um resultado positivo.