Question

Considere as sentenças abaixo:

p: \exists x \in \mathbb{Z} | \forall y \in \mathbb{N} , x < y
q: \forall x \in \mathbb{Z} , \exists y \in \mathbb{N} | x < y
r: \exists x \in \mathbb{N} | \forall y \in \mathbb{Z}, x < y
s: \exists x \in \mathbb{N} | \exists y \in \mathbb{Z} | x < y
(a) Escreva cada sentença sem simbologia, ou seja, por extenso ("existe um número inteiro x tal que, para todo número natural y...").

(b) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa, justificando.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Answer 2

As avaliações das sentenças do item (a) estão descritas abaixo. Em relação ao item (b), temos:

• p é verdadeira.

• q é verdadeira.

• r é falsa.

• s é verdadeira.

$\dotfill$

As questões tratam da simbologia usada na linguagem matemática com a avaliação do uso dos termo "existe" e "para todo". Vamos aos itens:

(a)

p: Existe um número inteiro x tal que, para todo número natural y, x é menor que y.

q: Para todo número inteiro x, existe um número natural y tal que, x é menor que y.

r: Existe um número natural x tal que, para todo número inteiro y, x é menor que y.

s: Existe um número natural x tal que, existe um número inteiro y tal que, x é menor que y.

(b)

• p é verdadeira.

Se x assume um valor negativo, logo, para todo natural y, x é menor do que y. Um exemplo numérico seria, por exemplo, x = -5. Dessa forma, para todo natural y, -5 < y.

• q é verdadeira.

Se x é positivo, basta escolher y como o sucessor de x. Como o conjunto dos naturais é infinito pra direita (não existe um maior), logo x < y para todo valor de x.

Se x é negativo, basta escolher, por exemplo, y = 4. Como quatro é maior do que qualquer número negativo, logo x < y para todo valor de x.

• r é falsa.

Se y = -8, por exemplo, não existe x natural de modo que x < -2.

• s é verdadeira.

Aqui um simples exemplo de x e y que satisfaçam a condição basta. Se x = 5 e y = 7, por exemplo, x < y.

Até mais!