Question

Qual o ponto de máximo ???​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo Diferencial

TEOREMA:

Suponhamos que um ponto $\sf{x_{0}}$ a função f(x) atinge um máximo ( mínimo ) local e que nesse ponto f(x) têm derivada de segunda ordem. Então, $\sf{ f''(0)<0~\left( f''(x)>0 \right) }$

Dada a função :

$\sf{f(t)~=~\dfrac{5}{4}\left(e^{-3t}-e^{-5t}\right) }$

Queremos provar que o ponto crítico é o ponto de máximo .

• primeiro fazemos a primeira derivada para achar o ponto crítico.

$\iff \sf{ f(t)~=~\dfrac{5}{4}e^{-3t}-\dfrac{5}{4}e^{-5t} }$

$\iff \sf{ f'(t)~=~\dfrac{5}{4}*(-3t)'e^{-3t}-\dfrac{5}{4}*(-5t)'e^{-5t} }$

$\iff \sf{ f'(t)~=~-\dfrac{15}{4}e^{-3t}+\dfrac{25}{4}e^{-5t} }$

• Vamos igualar a primeira derivada a zero :

$\iff\sf{ \dfrac{25}{4}e^{-5t}~=~\dfrac{15}{4}e^{-3t} }$

$\iff\sf{ 5e^{-5t}~=~3e^{-3t} }$

$\iff\sf{ \dfrac{e^{-3t}}{e^{-5t}}~=~\dfrac{5}{3} }$

$\iff\sf{ 2t~=~\ln\left(\dfrac{5}{3}\right) }$

$\iff\sf{ t~=~\dfrac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{2} }$===> Eis o ponto crítico

• Agora vamos efectuar a segunda derivada no ponto crítico.

$\iff\sf{f''(t)~=~\dfrac{45}{4}e^{-3t}-\dfrac{125}{4}e^{-5t} }$

$\iff\sf{f''\left(\dfrac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{2}\right)~=~\dfrac{45}{4}*e^{-\frac{3}{2}\ln\left(\frac{5}{3}\right)}-\dfrac{125}{4}*e^{-\frac{5}{2}\ln\left(\frac{5}{3}\right)} }$

$\iff\sf{f''\left(\dfrac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{2}\right)~=~\dfrac{45}{4}*\left(e^{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}\right)^{-\frac{3}{2}}-\dfrac{125}{4}*\left(e^{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}\right)^{-\frac{5}{2}} }$

$\iff\sf{f''\left(\dfrac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{2}\right)~=~\dfrac{45}{4}*\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-\frac{3}{2}}-\dfrac{125}{4}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-\frac{5}{2}} }$

$\iff\sf{f''\left(\dfrac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{2}\right)~=~\dfrac{45}{4}*\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^3}-\dfrac{125}{4}\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^5}~<~0 }$===> como este ponto cumpre com o TEOREMA ACIMA , então o ponto crítico é o ponto máximo .

c.q.d

This answer was elaborad by:

Murrima , Joaquim Marcelo

UEM(Moçambique)-DMI