Resolva o problema de valor inicial:

$\bf \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{sen\ x}{2y-2}\ ,\ y(0) = 3$

Obs: prfv, se n souber, n responda.

Respostas

respondido por: MuriloAnswersGD

Resultado > y = 1+√{3+cos x}

Equação diferencial

Temos a seguinte equação:

$\Large \boxed{\boxed{\sf \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{senx}{2y - 2} , y(0) = 3 }}$

Podemos resolucionar isso, fazendo uma Multiplicação cruzada entre a igualdade de dy e dx:

$\Large \boxed{\boxed{( 2y - 2 ) dy = ( - senx ) dx}}$

Com essa Equação, calculamos a integral de ambos os membros da equação.

$\Large\boxed{\begin{array}{lr}\\ \displaystyle\int \sf ( 2y - 2)dy = \displaystyle\int \sf (-senx)dx \\\\ \sf Regra \: da \: integral > \int x^n = \dfrac{x^n + 1}{n+1} + C\\\\\sf \dfrac{2y^2}{2} - 2y + c = cos x + c \\\\\sf y^2 - 2y + c_{1} = cos x + c_{2} \\\: \end{array}}$

Como estamos resolvendo integral entre duas igualdades, vamos chamar constante 1 e 2, pois elas podem ser diferentes

Agora formamos a seguinte equação: y² - 2y + c1 = cos x + c2. Vamos determinar c1 e c2 como c, e organizar a equação para igualar a zero

$\Large \sf y^2 - 2y + c_{1} = cos x + c_{2} \\\\ \Large \sf y^2 - 2y + c - cos x = 0$

Resolucionando a equação Quadrática pela fórmula de Bháskara

$\boxed{\begin{array}{lr} \\\sf y = \dfrac{ -(-2) \pm \sqrt{ (4.1.c-cosx)}}{2.1} \\\\\sf y = \dfrac{ 2 \pm \sqrt{(4-4c +4cosx)}}{2}\\\\\sf y = \dfrac{ 2 \pm \sqrt{4(1-c+cos)}}{2}\\\\\sf y = \dfrac{ 2 \pm 2\sqrt{1-c + cos x}}{2}\\\\\sf y = 1\pm\sqrt{1-c + cos x} </p><p>\\\: \end{array}}$

Agora, sabemos que y(0) = 3, então para achar o resultado dessa condição, vamos substituir y por 3 e x por zero:

$\Large \boxed{\begin{array}{lr} \\\sf y = 1+\sqrt{1-c + cos x} \\\\\sf 3 = 1+\sqrt{1-c + cos 0}\\\\\sf 3 -1 = \sqrt{1-c+1}\\\\\sf 2= \sqrt{2-c} \\\: \end{array}}$

Vamos elevar ambos os membros da equação a 2, e aplicar a propriedade da Potênciação (√x² = x ) e cortar a raiz:

$\Large \boxed{\begin{array}{lr} \\\sf 2^2 = ( \sqrt{2-c})^2\\\\\sf 4 = 2-c\\\\\sf c = -2 \end{array}}$

Substituindo por c por -2:

$\Large \boxed{\begin{array}{lr} \\\sf y = 1+\sqrt{1-(-2)+cos x } \\\\\sf \red{ y = 1 + \sqrt{ 3+cosx }} \\\: \end{array}}$

Achamos a primeira solução, agora vamos na outra Equação, e fazer a mesma coisa que fizemos na primeira

$\Large \boxed{\begin{array}{lr} \\\sf y = 1-\sqrt{1-c + cos x} \\\\\sf 3 = 1-\sqrt{1-c + cos 0}\\\\\sf 3 -1 = -\sqrt{1-c+1}\\\\\sf 2= -\sqrt{2-c}\\\\\sf -\sqrt{2-c}=-2 \\\: \end{array}}$

Veja que a raiz é igual a uma valor negativo, e por definição, não tem raiz quadrada que dê número negativo, Logo Vamos ter apenas a solução: y = 1+ √3+cosx