Question

Resolva:

16y'' - 8y' + y = 0​

Answer 1

• O resultado dessa EDO é y(x) = c1 . e^(x/5) + c2 . x . e^(x/5)

Fala, sapão! Bom dia. Primeiramente, devemos substituir o $\bf y$ por $\bf e^{mx}$. Logo:

$\bf 16y'' - 8y' + y = 0$

$\bf 16(e^{mx})'' - 8(e^{mx})' + e^{mx} = 0$

Segundo passo será aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada da exponencial será a própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente.

$\bf 16(e^{mx})'' - 8(e^{mx})' + e^{mx} = 0$

$\bf 16[e^{mx}\cdot (mx)']' - 8[e^{mx}\cdot (mx)'] + e^{mx} = 0$

Lembrando que a derivada de mx será m, por causa da regrinha de derivação: $\sf mx = m$. Logo:

$\bf 16[m\ e^{mx}]' - 8\ m\ e^{mx} + e^{mx} = 0$

$\bf 16\ [ m\ e^{mx}\cdot (mx)'] - 8\ m\ e^{mx} + e^{mx} = 0$

$\bf 16\ m^2\ e^{mx} - 8\ m\ e^{mx} + e^{mx} = 0$

Perceba que temos um fator comum em todas elas. Logo, iremos colocar em evidência.

$\bf 16\ m^2\ e^{mx} - 8\ m\ e^{mx} + e^{mx} = 0$

$\bf e^{mx} \cdot ( 16m^2 - 8m + 1) = 0$

Importante! $\bf e^{mx}$ sempre será ≠ de 0, pois qualquer coisa elevada a qualquer coisa, nunca será zero a menos que a base seja 0. Então temos que resolver a seguinte equação: $\sf 16m^2 - 8m + 1 = 0$, o nome disso é equação caracteristica.

$\bf 16m^2 - 8m + 1 = 0\\\\\\ \boxed{\bf a=16}\\\\ \boxed{\bf b=-8}\\\\ \boxed{\bf c=1}$

• Resolvendo por Bhaskara:

$\bf m = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a} \Leftrightarrow$

$\bf m = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4\cdot 16\cdot 1} }{2\cdot 16} \Leftrightarrow$

$\bf m = \dfrac{8 \pm \sqrt{0} }{32} \Leftrightarrow$

$\bf m = \dfrac{8 }{32} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \boxed{\boxed{\bf m = \dfrac{1}{4}}}$

• Logo, substituindo o valor de m em $\bf e^{mx}$ , teremos um dos resultados. Lembrando que temos que adicionar uma constante.

$\bf e^{mx} \Rightarrow e^{\frac{1}{4}x}$

Primeira parte da resposta:

$\boxed{\boxed{\green{\bf y= c1 \cdot e^{\frac{1}{4}x}}}}$

Agora, pra matar de vez a questão, devemos fazer a mesma coisa que fizemos no inicio de tudo ... soq agr, iremos substituir $\sf 16y'' - 8y' + y = 0$ por

$\sf 16(x\ e^{\frac{1}{4}x})'' - 8(x\ e^{\frac{1}{4}x})' + x\ e^{\frac{1}{4}x} =$. Lembrando que se não der 0, não será parte da resposta. Logo:

$\bf 16y'' - 8y' + y =$

$\bf 16(x\ e^{\frac{1}{4}x})'' - 8(x\ e^{\frac{1}{4}x})' + x\ e^{\frac{1}{4}x} =$

Perceba que não é mais a mesma coisa, não devemos agora aplicar a regra da cadeia, devemos aplicar a derivada do produto. Dada por:

               $\boxed{\orange{\bf (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' }}$

$\bf 16(x\ e^{\frac{1}{4}x})'' - 8(x\ e^{\frac{1}{4}x})' + x\ e^{\frac{1}{4}x} =$

$\bf 16[(x)'\cdot e^{\frac{1}{4}x} + x\cdot ( e^{\frac{1}{4}x} )' ]' - 8[(x)'\cdot e^{\frac{1}{4}x} + x\cdot ( e^{\frac{1}{4}x} )'] + x\ e^{\frac{1}{4}x} =$

$\bf 16[e^{\frac{1}{4}x} + xe^{\frac{1}{4}x }\cdot ( \frac{1}{4}x)']' - 8[e^{\frac{1}{4}x } + \frac{1}{4}xe^{\frac{1}{4}x} ) + xe^{\frac{1}{4} x} =$

$\bf 16[e^{\frac{1}{4} x} + \frac{1}{4}xe^{\frac{1}{4}} ]' - 8 ( e^{\frac{1}{4}x} + \frac{1}{4} xe^{\frac{1}{4}x} ) + xe^{\frac{1}{4}x } =$

• Continuando o cálculo, uma hora vai dar:

$\bf 8e^{\frac{1}{4}x} + xe^{\frac{1}{4}x} - 8e^{\frac{1}{4}x} - xe^{\frac{1}{4}x} = \underline{0}$

• Logo, as duas soluções deu resultado 0. Portanto:

$\therefore \boxed{\boxed{\green{\bf y(x) = c1\cdot e^{\frac{1}{4} x} + c2\cdot x\cdot e^{\frac{1}{4}x} }}}$

Veja mais sobre:

EDO's homogêneas e de segunda ordem.

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