Question

Qual a resolução dessa integral

Answer 1

$\int\limits { \frac{x}{ \sqrt{x+1} } } \, dx$

fazendo u = x + 1, du = 1

$\int{ \frac{x}{ \sqrt{u} } }1 \, du = \int \frac{u}{ \sqrt{u} } , du$

como u = x + 1 ⇒ x = u - 1

$\int \frac{(u-1)}{ \sqrt{u} } du = \int \frac{u}{ \sqrt{u} } du - \int \frac{1}{u} du$ (*)

Como podemos ver, 

$\sqrt{u} = u^{ \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2} }$
$\frac{1}{u} = u x^{ -\frac{1}{2} } = 2 \sqrt{u}$

Logo,

(*) = $\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2} }-2 \sqrt{u} = \frac{2}{3}(x+1)^{ \frac{3}{2} } -2 \sqrt{x+1} + c$