Question

Calcule a razão de uma PG onde o 1° termo é 48 e o 8° termo é 3/8.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre progressões geométricas.

Seja a sequência $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}=\{a_1,~a_2,~a_3,\cdots\}$ cujos termos estão em progressão geométrica, isto é, cada termo é igual ao produto de uma constante e o termo imediatamente anterior. Esta constante é denominada razão da progressão.

Para calcularmos o enésimo termo da progressão, utilizamos a fórmula do termo geral: $a_n=a_k\cdot q^{n-k},~n>k$.

Então, resolvemos a questão. Sabendo que o primeiro termo da progressão é igual a $48$ e o oitavo termo é igual a $\dfrac{3}{8}$, substituímos $n=8$ e $k=1$ na fórmula do termo geral:

$a_8=a_1\cdot q^{8-1}\\\\\\ \dfrac{3}{8}=48\cdot q^7$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $48$

$\dfrac{48\cdot q^7}{48}=\dfrac{\dfrac{3}{8}}{48}}\\\\\\ q^7=\dfrac{1}{128}$

Calculamos a raiz sétima em ambos os lados da igualdade

$\sqrt[7]{q^7}=\sqrt[7]{\dfrac{1}{128}}$

Sabendo que $\dfrac{1}{128}=\dfrac{1}{2^7}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^7$, fazemos:

$q=\dfrac{1}{2}~~\checkmark$

Esta é a razão desta progressão.