Dependência linear e bases, preciso de ajuda para resolver esses problemas, com resolução para conseguir entender p.f
Respostas
Resposta:Exemplo 1: O conjunto {(1, 0),(0, 1)} em R2
é Linearmente Independente.
De fato, a equação:
α1(1, 0) + α2(0, 1) = (0, 0)
só vale para α1 = α2 = 0. Assim, os vetores (1, 0) e (0, 1) são L.I.
Exemplo 2: Os elementos v1 = (1, 2) e v2 = (3, 6) do espaço vetorial R2
são Linearmente
Dependentes.
De fato, temos que a equação:
α1v1 + α2v2 = e ⇒ α1(1, 2) + α2(3, 6) = (0, 0)
É verdadeira para α1 = 3 e α2 = −1. Assim, v1 e v2 são L.D.
Também podemos verificar que (3, 6) = 3(1, 2) ⇒ v2 = 3v1, ou seja, v2 é combinação linear de v1.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3
são Linearmente Dependentes, eles estão
na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
Figura 1: Os vetores v1 e v2 são L.D.
Exemplo 3: Os elementos v1 = (1, 2) e v2 = (4, 3) de R2
são Linearmente Independentes.
De fato, a equação:
α1v1 + α2v2 = e ⇒ α1(1, 2) + α2(4, 3) = (0, 0)
Vale apenas para α1 = α2 = 0.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3
são L.I., eles não estão na mesma reta,
quando colocados na mesma origem.
Exemplo 4: O conjunto {(1, 1, 1),(1, 2, 1),(3, 2, −1)} ⊂ R3
é Linearmente Independente.
Tome a equação:
α1(1, 1, 1) + α2(1, 2, 1) + α3(3, 2, −1) = (0, 0, 0) ⇔
1
Figura 2: Os vetores v1 e v2 são L.I.
⇔
α1 + α2 + 3α3 = 0
α1 + 2α2 + 2α3 = 0
α1 + α2 − α3 = 0
escalonamento −−−−−−−−−−−→
α1 + α2 + 3α3 = 0
α2 − α3 = 0
−4α3 = 0
Este sistema tem como única solução α1 = α2 = α3 = 0.
Assim, {(1, 1, 1),(1, 2, 1),(3, 2, −1)} é L.I.
Exemplo 5: Os elementos v1 = (1, 3, 2), v2 = (−2, −2, 1) e v3 = (−3, −1, 4) de R3
são
Linearmente Dependentes.
Tome a equação:
α1v1 + α2v2 + α3v3 = e ⇒ α1(1, 3, 2) + α2(−2, −2, 1) + α3(−3, −1, 4) = (0, 0, 0) ⇔
⇔
α1 − 2α2 − 3α3 = 0
3α1 − 2α2 − α3 = 0
2α1 + α2 + 4α3 = 0
escalonamento −−−−−−−−−−−→
α1 − 2α2 − 3α3 = 0
20α2 + 40α3 = 0
0α2 + 0α3 = 0
Obtemos um sistema linear que tem como solução: α2 = −2α3, α1 = −α3 com α3 ∈ R livre. Assim, para algum α3 6= 0 a equação vale, portanto v1 = (1, 3, 2), v2 = (−2, −2, 1) e v3 = (−3, −1, 4)
são L.D.
De fato, podemos ver que o vetor v3 = (−3, −1, 4) é combinação linear dos vetores v1 = (1, 3, 2)
e v2 = (−2, −2, 1), uma vez que: (−3, −1, 4) = (1, 3, 2) + 2(−2, −2, 1) ⇒ v3 = v1 + 2v2.
Geometricamente, se três vetores em R3
são Linearmente Dependentes, eles estão no mesmo
plano, quando colocados na mesma origem.
2
Figura 3: Os vetores v1, v2 e v3 são L.D.
Exemplo 6: Os polinômios 1, x, x2
, x3 ∈ P3(R) são Linearmente Independentes.
De fato, temos que:
α1 + α2x + α3x
2 + α4x
3 = 0 + 0x + 0x
2 + 0x
3
só vale se α1 = α2 = α3 = α4 = 0.
Exemplo 7: O subconjunto
2x, x2 + 1, x + 1, x2 − 1
de P2(R) é Linearmente Dependente.
Tomando a equação:
α12x + α2(x
2 + 1) + α3(x + 1) + α4(x
2 − 1) = 0 + 0x + 0x
2 ⇒
⇒ (α2 + α3 − α4) + (2α1 + α3)x + (α2 + α4)x
2 = 0 + 0x + 0x
2
Dois polinômios são iguais se os coeficientes de cada termo é igual, assim temos:
α2 + α3 − α4 = 0
2α1 + α3 = 0
α2 + α4 = 0
Que é um sistema linear homogêneo com três equações e quatro incógnitas, ou seja, admite mais
de uma solução além da trivial. Assim, podemos afirmar que o conjunto
2x, x2 + 1, x + 1, x2 − 1
é L.D.
Exemplo 8: As matrizes M1 =
1 1
0 0
, M2 =
2 1
0 0
, M3 =
0 0
0 2
e M4 =
0 1
1 0
pertencentes a M2(R) são Linearmente Independentes.
3
De fato, tomando a equação:
α1
1 1
0 0
+ α2
2 1
0 0
+ α3
0 0
0 2
+ α4
0 1
1 0
=
0 0
0 0
Obtemos o sistema:
α1 + 2α2 = 0
α1 + α2 + α4 = 0
α4 = 0
2α3 = 0 ⇒ α3 = 0
⇒
α1 + 2α2 = 0
α1 + α2 = 0 ⇒
α1 + 2α2 = 0
−α2 = 0
Do qual obtemos α1 = α2 = α3 = α4 = 0. Assim, as matrizes M1, M2, M3 e M4 são L.I.
Exemplo 9: Determinar c para que o conjunto {(3, 5c, 1),(2, 0, 4),(1, c, 3)} seja Linearmente
Independente.
Tomando a equação:
α1(3, 5c, 1) + α2(2, 0, 4) + α3(1, c, 3) = (0, 0, 0)
Obtemos o sistema:
3α1 + 2α2 + α3 = 0
5cα1 + cα3 = 0
α1 + 4α2 + 3α3 = 0
Para que o conjunto seja linearmente independente, temos que ter α1 = α2 = α3 = 0, ou seja,
o sistema linear homogêneo acima deve admitir somente a solução trivial. Mas para isso, basta
que a matriz do sistema tenha determinante diferente de 0. Isto é:
3 2 1
5c 0 c
1 4 3
6= 0 ⇒ 2c + 20c − 30c − 12c 6= 0 ⇒ −20c 6= 0 ⇒ c 6= 0
Assim, para algum c 6= 0 o conjunto {(3, 5c, 1),(2, 0, 4),(1, c, 3)} é L.I. e para c = 0 temos que o
conjunto é L.D.
Exemplo 10: O subconjunto {(1, 1, 0, 0),(0, 1, 0, 2),(0, 0, 1, 0),(0, 2, −1, 4)} de R4
é Linearmente Dependente.
De fato, temos que:
0(1, 1, 0, 0) + 2(0, 1, 0, 2) − (0, 0, 1, 0) = (0, 2, −1, 4)
Ou seja, um dos vetores é combinação linear dos demais, assim o subconjunto é L.D.
Considere o subespaço S = [(1, 1, 0, 0),(0, 1, 0, 2),(0, 0, 1, 0),(0, 2, −1, 4)] de R4
. Como já vimos, um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais. Pela propriedade (P7)
podemos extraí-lo do conjunto de geradores e temos:
S = [(1, 1, 0, 0),(0, 1, 0, 2),(0, 0, 1, 0)]
Ou seja, os três vetores restantes ainda geram S.
Explicação: