Question

2-) Calcule x na equação log (x + 2) + log (x - 1) = log (x + 2)​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ x = ± 2. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Inicialmente lembremo-nos de uma propriedade dos logaritmos aonde:

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                                           $\qquad\quad\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a^{log_a(b)} = b}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma nossa primeira manipulação algébrica será tornar ambos os lados da igualdade em expoentes de potências de base 10:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf 10^{log_{10}(x + 2) + log_{10}(x - 1)} = 10^{log_{10}(x + 2)} }}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Em seguida lembremo-nos da seguinte propriedade das potências:

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                                       $\qquad\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a^{b + c} = a^b \cdot a^c}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \diagup\!\!\!\!\!{10}^{log_{\diagup\!\!\!\!\!{10}}(x + 2)} \cdot \diagup\!\!\!\!\!{10}^{log_{\diagup\!\!\!\!\!{10}}(x - 1)} = \diagup\!\!\!\!\!{10}^{log_{\diagup\!\!\!\!\!{10}}(x + 2)} }}$

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$\LARGE\blue{\sf (x + 2) \cdot (x - 1) = (x + 2)}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como não sabemos se x = (-2) é solução então não podemos dividir ambos os lados da igualdade por (x + 2). Desta forma vamos subtrair (x + 2) de ambos os lados da igualdade:

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$\LARGE\blue{\sf (x + 2) \cdot (x - 1) - (x + 2) = (x + 2) - (x + 2)}$

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$\LARGE\blue{\sf (x + 2) \cdot (x - 1) - (x + 2) = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Colocando (x + 2) em evidência temos:

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$\LARGE\blue{\sf (x + 2) \cdot ((x - 1) - 1) = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf (x + 2) \cdot (x - 2) = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja, temos dois valores que satisfazem a equação acima: (-2) para o binômio da esquerda e (+2) para o binômio da direita. Se preferir, expanda o produto de binômios:

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$\LARGE\blue{\sf x^2 \overbrace{\sf - 2 \cdot x + 2 \cdot x}^{= 0} - 4 = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf x^2 - 4 = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf x^2 = 4}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{4}}$

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$\LARGE\blue{\sf x = \pm 2}$

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⠀⠀⠀⭐ Caso tivéssemos dividido ambos os lados por (x + 2) teríamos excluído uma das soluções e ficado com somente a outra já que a divisão por zero é uma indeterminação. ✌

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                                         $\qquad\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ \pm 2 }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre logaritmos:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$⠀☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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