Question

Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções quadráticas dadas pelas leis abaixo?
a) y = x2 – 2
b) y = 5 – x2
c) y = (x + 1)(2 – x)
d) y = x(x + 3)

e outra e necessário fazer gráficos?

Answer 1

Boa noite Luiz!!!

O conjunto imagem é o conjunto dos valores que y pode ter. O gráfico pode te auxiliar na visão, mas esse valor é obtido pela fórmula do y do vértice que é:
y = - Δ/4a
OBS: nas letras A e B os gráficos estarão em anexo para melhor entendimento.

a) y = x² - 2
a = 1  → é uma função crescente
Encontrando o delta:
Δ = 0² - 4.1.(-2)
Δ = 8

Para se fazer o gráfico, encontraremos as raízes e o x do vértice:
x² - 2 = 0
x² = 2
x = √2
x = √2  ou  x = - √2
 
x = - b/2a
x = 0/2.1
x = 0

O conjunto imagem:
y = - 8/4.1
y = - 8/4
y = - 2

Logo o conjunto imagem é:
Im = {y ∈ R | y ≥ - 2}
(Se lê: y pertence ao conjunto dos números reais, tal que y é maior ou igual a - 2}


b) y = 5 - x²
a = - 1 → função decrescente
 
Δ = 0² - 4.(-1).5
Δ = 20

Raízes:
5 - x² = 0
x² = 5
x = √5
x = √5   ou  x = - √5

y = - 20/4.(-1)
y = - 20/-4
y = 5

Assim:
Im = {y ∈ R | y ≤ 5}
(y pertence ao conjunto dos números reais, tal que y é menor ou igual a 5}

c) y = (x + 1)(2 - x)

Fazendo a multiplicação distributiva:
y = 2x - x² + 2 - x
y = - x² + x + 2 

a = - 1 → função decrescente
Δ = 1² - 4.(-1).2
Δ = 1 + 8
Δ = 9

y = - 9/4.(-1)
y = - 9/ - 4
y = 9/4

Conjunto imagem:
Im = { y ∈ R | y ≤ 9/4}

d) y = x(x + 3)
y = x² + 3x
a = 1 → função crescente

Δ = 3² - 4.1.0
Δ = 9

y = - 9/4.1
y = - 9/4

Conjunto imagem:
Im = {y ∈ R | y ≥ - 9/4}

Sendo assim, para se achar a imagem não precisa necessariamente fazer o gráfico. Deve observar o valor que acompanha o x² para se verificar se a função é crescente ou decrescente, descobrir o delta da função e aplicar os valores na fórmula do y do vértice:
- se a função é crescente, o valor de y será maior ou igual ao valor encontrado na fórmula do y do vértice;
- se a função é decrescente, o valor de y será menor ou igual ao valor encontrado na fórmula do y do vértice.

Espero que te ajude ;)  

Answer 2

Com o estudo sobre o conjunto imagem de uma função, temos como resposta letra a)Im =  {y ∈ IR/ y ≥ -2}, letra b)Im =  {y ∈ IR/ y ≥ 5}, letra c)Im =  {y ∈ IR/ y ≥ 2}, letra d)Im =  {y ∈ IR/ y ≥ -9/4}

Conjunto imagem de uma função

O conjunto imagem de uma função é o conjunto de valores assumidos pela variável dependente, isto é, todos os valores da variável dependente que são imagem de algum valor da variável independente. Esse conjunto é representado por Im(f).

Ao considerar a função que a cada número associa seu quadrado y = x², seu domínio será formado por todos os números reais, isto é, existe o quadrado de qualquer número. Mas a variável dependente y só assumirá valores maiores ou iguais a 0, já que o quadrado de um número é sempre positivo ou  nulo.

Diz-se que a imagem da função y = x² compreende todos os números positivos e o 0. O conjunto contradomínio é aquele que contém o conjunto imagem e, nesse caso, pode ser o conjunto dos números

• $CD(f)=\mathbb{R}$

• $Im(f)=\mathbb{R}+$

O conjunto imagem de uma função do tipo f(x) = ax² + bx + c é dada por

• Se a > 0 , então: Im = {y ∈ IR/ y ≥ $\frac{-\Delta}{4a}$}
• Se a < 0 , então: Im = {y ∈ IR/ y ≤ $\frac{-\Delta}{4a}$}

Sendo assim podemos resolver o exercício

a)y = x² - 2

• Δ = 0² - 4ac = -4*1*(-2) = 8 ⇒ -Δ = -8
• Im =  {y ∈ IR/ y ≥ -2}

b)y = -x² + 5

• Δ = 0² - 4ac = -4*(-1)*5 = 20 ⇒ -Δ = -20
• Im =  {y ∈ IR/ y ≥ 5}

c)y = - x² + 2

• Δ = 0² - 4ac = -4*(-1)*2 = 8 ⇒ -Δ = -8
• Im =  {y ∈ IR/ y ≥ 2}

d)y = x² + 3x

• Δ = 3² - 4ac = 9 - 4*(1)*0 = 9 ⇒ -Δ = -9
• Im =  {y ∈ IR/ y ≥ -9/4}

Saiba mais sobre o conjunto imagem:https://brainly.com.br/tarefa/4159898

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