Question

Insira no campo de entrada do GeoGebra a equação ((x-xo)²)/b²+((y-yo)²)/a²=1 . Observe que o “xo” , “yo”, “a” e o “b” serão números representados por controles deslizantes. Altere as configurações de “a” e “b” para o intervalo de 1 a 100. Lembre-se a>b.

a) Considere xo = -1, yo = 2, a = 6 e b = 3. Encontre o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. De forma manual.

b) Encontre o semieixo maior, o semieixo menor, semi distância focal, eixo maior, eixo menor e a distância focal. De forma manual.

c) Faça um print de toda a construção realizada no GeoGebra.

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Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) centro = (-1, 2), vértices = (-1, 8), (-1, -4), (2, 2) e (-4, 2), focos = (-1, 2 + √27) e (-1, 2 - √27) e excentricidade = √27/6; b) semi-eixo maior = 6, semi-eixo menor = 3, semi-distância focal = √27, eixo maior = 12, eixo menor = 6 e distância focal = 2 · √27; c) vide imagem em anexo. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀A forma geral da equação de uma elipse é:

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                              $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a }}$ sendo a semi-distância das extremidades A₁ e A₂ do eixo maior (também chamado de semi-eixo maior) - lembrando que pela definição de elipse a soma da distância de qualquer ponto da elipse até o foco 1 com a distância deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf b }}$ sendo a semi-distância das extremidades B₁ e B₂ do eixo menor (também chamado de semi-eixo menor);

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x_0, y_0) }}$ sendo as coordenadas do centro O da elipse.

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                  $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier{0}(-4,0)(-3.7,2.7)(0,3)\bezier{0}(0,3)(3.7,2.7)(4,0)\bezier{0}(4,0)(3.7,-2.7)(0,-3)\bezier{0}(-4,0)(-3.7,-2.7)(0,-3)\put(-3,0){\circle*{0.13}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(-4,0){\circle*{0.13}}\put(4,0){\circle*{0.13}}\put(0,3){\circle*{0.13}}\put(0,-3){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0.5,0.5){\LARGE \sf O }\put(-4.6,-0.8){\LARGE \sf A_1 }\put(4.2,-0.8){\LARGE \sf A_2 }\put(0.3,-3.8){\LARGE \sf B_1 }\put(0.3,3.6){\LARGE \sf B_2 }\put(-3.2,0.6){\LARGE \sf F_1 }\put(2.8,0.6){\LARGE \sf F_2 }\put(-3.95,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad\qquad~~} }\put(-2.1,-1.1){\Large \sf a }\put(0,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad~~~} }\put(1.4,-1.1){\Large \sf c }\put(-0.6,1.35){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\end{cases} }\put(-1,1.3){\Large \sf b }\bezier{30}(0,3)(1.5,1.5)(3,0)\put(1.9,1.5){\Large \sf a }\put(-5,-8){\dashbox{0.1}(10,2.5){\huge \sf D_{A_1A_2} = 2 \cdot a = D_{F_1P} + D_{F_2P} }}\put(-5,-11){\dashbox{0.1}(6,2.5){\huge \sf a^2 = b^2 + c^2 }}\put(2,-11){\dashbox{0.1}(3,2.5){\huge \sf e = \dfrac{c}{a} }}\end{picture}$

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                            $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\green{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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• ⠀⠀⠀✋❗⠀Note que o eixo maior está no eixo y, ou seja, os focos estão no eixo y.

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⠀⠀⠀➡️⠀Temos, do enunciado, que o centro desta elipse está no ponto (x₀, y₀) = (-1, 2). ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Os vértices A₁ e A₂ são (x₀, y₀ + a) e (x₀, y₀ - a), ou seja, (-1, 8) e (-1, -4). Já os vértices B₁ e B₂ são (x₀ + b, y₀) e (x₀ - b, y₀), ou seja, (2, 2) e (-4, 2). ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀A semi-distância focal c pode ser encontrada pela relação de Pitágoras:

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$\LARGE\blue{\sf 6^2 = 3^2 + c^2}$

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$\LARGE\blue{\sf c^2 = 36 - 9}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{c^2} = \pm \sqrt{27}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como c é um comprimento então tomaremos somente a solução positiva desta radiciação, ou seja, c = √27. Desta forma temos que os focos estão em (x₀, y₀ + c) e (x₀, y₀ - c), ou seja, em (-1, 2 + √27) e (-1, 2 - √27). Já a excentricidade desta elipse É de c/a = √27/6. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Conhecendo os valores de a, b e c então temos que o semi-eixo maior = a = 6, o eixo maior = 2 · a = 12, o semi-eixo menor = b = 3, o eixo-maior = 2 · b = 6, a semi-distância focal = c = √27 e, por fim, a distância focal = 2 · c = 2 · √27. ✅  

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre elipses:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$⠀☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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