Question

Dada a função f(x,y)=x^2+4y^2 , qual das alternativas abaixo NÃO é verdadeira?

Escolha uma opção:
a. O vetor gradiente calculado no ponto P(1;2) é \vec{v}=(2;16)
b. (0;0) é o único ponto crítico da função.
c. O valor da derivada direcional, na direção do vetor \vec{v}=(3;2) é igual a 22
d. f(1,2)=1^2+4.(2)^2=17
e. A inclinação da reta tangente a superfície f(x,y)=x^2+4y^2 no ponto P(2,1), na direção do eixo y é um múltiplo de 2.

Answer 1

a) V

$\begin{array}{l}\vec{\nabla } f=( D_{1} f,D_{2} f) =( 2x,8y)\\\\\Longrightarrow \vec{\nabla } f( 1,2) =( 2\cdotp 1,8\cdotp 2) =( 2,16)\end{array}$

b)V Para os pontos críticos

$\begin{cases}D_{1} f=0\Longrightarrow 2x=0\Longrightarrow x=0\\D_{2} f=0\Longrightarrow 8y=0\Longrightarrow y=0\end{cases}$

c) Impossível. A derivada direcional em um ponto P na direção de um vetor unitário u é dada por $\boxed{D_{\vec{u}} f( P) =\vec{\nabla } f( P) \cdotp \vec{u}}$

Como o enunciado não nos forneceu o ponto, não há como verificar o valor lógico dessa alternativa.

d)V. Inserindo x = 1 e y = 2 na função, f(x, y) = 17

e) V. A inclinação da reta tangente à superfície f(x, y) na direção y é a derivada parcial de f em relação à variável y.

$D_{2} f=8y\Longrightarrow D_{2} f( 2,1) =8\cdotp 1=8$