Question

Determine o maior valor natural de n para qual o f(x) = x^5-2x^4+x^3-x^2+2x-1 e divisivel por (x-1)^n.

Answer 1

Resposta:

para que o polinomio seja divisivel por x-1 ao menos uma vez então 1 deve ser raiz do polinomio

fatorando por (x-1)

1 também deve ser raiz deste polinômio para que o mesmo seja divisível por x-1

o polinômio não pode mais ser dividido por x-1

então n=2

Explicação passo-a-passo:

Exemplo 1

Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R

32 + 3 * 3 – 10 = R

9 + 9 – 10 = R

18 – 10 = R

R = 8

Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2

Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2

P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2

P(1) = 3 – 4

P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3

Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio

P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3

24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6

16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6

– 8m = 6 – 38 + 3

– 8m = 9 – 38

– 8m = – 29

m = 29/8

Exemplo 4

Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7

R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7

R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)

R = –3/8 + 2/8 + 80/8

R = 79/8