Question

Insira no campo de entrada do GeoGebra a equação ((x-xo)²)/a²+((y-yo)²)/b²=1 . Observe que o “xo”, “yo”, “a” e o “b” serão números representados por controles deslizantes. Altere as configurações de “a” e “b” para o intervalo de 1 a 100. Lembre-se a>b.

a) Considere xo = 0, yo = 0, a = 5 e b = 4. Encontre o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. De forma manual.

b) Usando a ferramenta “ponto” do software construa um ponto (Ponto A) sobre a elipse. Em seguida, construa segmentos com origem nos focos da Elipse e extremidade no ponto A. Logo após, encontre a soma dos segmentos. Feito isso anime o ponto construído. O que pode ser concluído acerca da distância entre os focos e o ponto pertencente a elipse. Justifique sua resposta.

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Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) Centro em (0, 0), vértices em (-5, 0), (5, 0), (0, -4) e (0, 4), focos em (-3, 0) e (3, 0) e excentricidade de 0,6. b) A soma da distância de um foco até um ponto qualquer e deste mesmo ponto até o outro foco é sempre constante e seu valor é sempre igual ao eixo maior (2a), como já era de se esperar pela própria definição de elipse. ✅

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⠀⠀⚡ " -Qual é a forma geral de uma equação de elipse?"

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                             $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a }}$ sendo a semi-distância das extremidades A₁ e A₂ do eixo maior (também chamado de semi-eixo maior) - lembrando que pela definição de elipse a soma da distância de qualquer ponto da elipse até o foco 1 com a distância de deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf b }}$ sendo a semi-distância das extremidades B₁ e B₂ do eixo menor (também chamado de semi-eixo menor);

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x_0, y_0) }}$ sendo as coordenadas do centro O da elipse.

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                    $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier{0}(-4,0)(-3.7,2.7)(0,3)\bezier{0}(0,3)(3.7,2.7)(4,0)\bezier{0}(4,0)(3.7,-2.7)(0,-3)\bezier{0}(-4,0)(-3.7,-2.7)(0,-3)\put(-3,0){\circle*{0.13}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(-4,0){\circle*{0.13}}\put(4,0){\circle*{0.13}}\put(0,3){\circle*{0.13}}\put(0,-3){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0.5,0.5){\LARGE \sf O }\put(-4.6,-0.8){\LARGE \sf A_1 }\put(4.2,-0.8){\LARGE \sf A_2 }\put(0.3,-3.8){\LARGE \sf B_1 }\put(0.3,3.6){\LARGE \sf B_2 }\put(-3.2,0.6){\LARGE \sf F_1 }\put(2.8,0.6){\LARGE \sf F_2 }\put(-3.95,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad\qquad~~} }\put(-2.2,-1.3){\Huge \sf a }\put(0,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad~~~} }\put(1.3,-1.3){\Huge \sf c }\put(-0.6,1.35){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\end{cases} }\put(-1.2,1.3){\Huge \sf b }\bezier{30}(0,3)(1.5,1.5)(3,0)\put(1.9,1.5){\Huge \sf a }\put(-5,-8){\dashbox{0.1}(10,2.5){\huge \sf D_{A_1A_2} = 2 \cdot a = D_{F_1P} + D_{F_2P} }}\put(-5,-11){\dashbox{0.1}(6,2.5){\huge \sf a^2 = b^2 + c^2 }}\put(2,-11){\dashbox{0.1}(3,2.5){\huge \sf e = \dfrac{c}{a} }}\end{picture}$

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                            $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\green{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma temos que o centro (x₀, y₀) está na origem (0, 0). Os vértices estão em (x₀±a, y₀) e (x₀, y₀±b), ou seja, (-5, 0), (5, 0), (0, -4) e (0, 4). ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Para obter os focos primeiro precisamos da semi-distância focal c, encontrada pela relação de Pitágoras a seguir:

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$\LARGE\blue{\sf 5^2 = 4^2 + c^2}$

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$\LARGE\blue{\sf 25 = 16 + c^2}$

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$\LARGE\blue{\sf c^2 = 25 - 16}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{c^2} = \pm \sqrt{9}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como c é uma distância então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

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$\LARGE\blue{\sf c = 3}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma temos que os focos, que estão sobre o eixo x, estão em (x₀±c, y₀), ou seja, em (-3, 0) e (3, 0). Por fim, a excentricidade desta elipse é de c ÷ a = 0,6. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Por definição temos que a distância de qualquer ponto até o foco 1 somada com a distância deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a. ✏ Uma experiência legal é com dois pregos em uma madeira amarre as extremidades de um barbante de qualquer comprimento em ambos os pregos e em seguida, com uma caneta forçando de dentro para fora, trace a figura geométrica que conseguir: eis aí uma elipse, sendo a distância entre os pregos igual à distância focal (2c) e o  comprimento do barbante sendo igual ao eixo maior (2a): com a e b encontramos c e os outros pontos desta elipse. ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre elipses:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$⠀☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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