Question

calcule o valor dos logaritmos:

a) log 2 32

b) log 5 125

c) log 3 243

c) log 7 1

d) log 2 1/8

e) log 12 12​

Answer 1

) log 2 32

2^x=32

x=5

b) log 5 125

5^x=125

x=3

c) log 3 243

3^x=243

x=5

c) log 7 1

7^x=1

x=0

d) log 2 1/8

2^x=1/8

2^x=8^(-1)

2^x=2^(-3)

x=-3

e) log 12 12

12^x=12

x=1

Answer 2

Resposta:

a) x = 5        b) x = 3       c1) x = 5        c2) x = 0        d) x = - 3      e) x = 1

Explicação passo a passo:

Estes cálculos de logaritmos apoiam-se na definição de logaritmo

( ver anexo1 )

e

no fato de quando se resolve cálculos de logaritmos, ficamos perante uma

equação exponencial ( variável  em expoente de potência ) em que

procuramos ter uma potência com a  mesma base em ambos os membros

da equação.

E depois igualar os expoentes.

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$a) log_{2}(32) =x$

$32=2^x$

a seguir vai decompor em fatores primos, o 32

32 | 2       $32=2^5$

16 | 2

  8 | 2

  4 | 2

   2| 2

   1

$32=2^x$

$2^{5} =2^{x}$

x = 5

Foi esta a situação que lhe falei lá em cima.

Quando temos duas potências iguais e com a mesma base, para o serem

iguais, os expoentes terão que ser iguais entre si.

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$b) log_{5}(125) = x$

$125=5^x$

125 | 5        125 = 5³  

 25 | 5

    5 | 5

    1

$125=5^x$  

$5^3=5^x$

x = 3

---------------------------

$c1) log_{3}(243) = x$

$243=3^x$

243  | 3       $243=3^5$

  81  | 3

   27 | 3

     9 | 3

     3 | 3

     1

 

$3^5= 3^x$

x = 5

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$c2) log_{7}(1) = x$

$1=7^x$

Observação 1 → Que potências são equivalentes a 1 ?

Qualquer valor ( diferente de zero ) elevado a zero dá 1.

Exemplo

$15^0=1$              $(-7)^{0} = 1$

$(\dfrac{3}{5})^0=1$            $1000000^0=1$

Aqui porque já temos uma potência de base 7, vamos colocar sete elevado

a zero, no lugar de 1 .

x = 0

Observação 2 → O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero

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$d) log_{2} (\dfrac{1}{8})=x$

$\dfrac{1}{8} =2^x$

Ao contrário dos outros exercícios não temos bases iguais nos dois

membros.

Vou-lhe explicar como se transforma 1/8 numa potência de base 2

Observação 3  → Expoente "escondido"

Quando se tem a potência "7 " ou "15 " elas têm expoente.

Apenas porque os matemáticos decidiram simplificar a escrita simbólica,

ele não aparece escrito.

Mas está lá e é usado sempre que necessário

$7 = 7^1$                 $15=15^1$

Observação 4 → Mudança de sinal do expoente

Para mudar o sinal de um expoente, primeiro inverte-se a base e depois

muda-se o sinal do expoente.

Exemplo

$(\dfrac{1}{8}) ^{1} =(\dfrac{1}{2^{3} }) ^{1} =(\dfrac{2^{3} }{1}) ^{-1} =(2^3)^{-1} =2^{(3*(-1)}=2^{-3}$

Observação  5 →  Potência de potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes

$(2^3)^{-1}=2^{(3* ( -1 ))} =2^{-3}$

conclusão do exercício

$2^{-3} =2^x$

x = - 3

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$e) log_{12}(12) =x$

$12=12^x$

$12^1=12^x$    

x = 1

Observação 6 → Quando logaritmando é igual à base, o logaritmo vem sempre igual a 1

Bons estudos.

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( * ) multiplicação       ( | ) divisão