Question

11. Duas pedras, A e B, de massas, respectivamente, 1kg e 2 kg, foram lançadas verticalmente para cima, ambas com velocidades escalares de 15 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10m/s², responda:
a) Qual das duas pedras atingiu a maior altura em relação ao solo?

b) Qual a altura máxima , em relação ao solo, atingida pelas pedras?

c) Em quais instantes as pedras atingiram a altura de 5 metros em relação ao solo?

Answer 1

Resposta:

a) As duas pedras atingiram a mesma altura, visto que a altura depende apenas da velocidade inicial e aceleração da gravidade e não de sua massa!

b) Vamos agora calcular a altura máxima, usando a equação de Torricelli, já que não sabemos o tempo de subida:

$\sf {v}^{2} = {{v}_{0}}^{2} - 2\cdot g \cdot \Delta s\\\\v = velocidade~final;\\{v}_{0} = velocidade~inicial;\\g = acelera\c{c}\~ao~da~gravidade;\\\Delta s = varia\c{c}\~ao~do~espa\c{c}o.$

Aplicando a relação temos:

$\sf {v}^{2} = {{v}_{0}}^{2} - 2\cdot g \cdot \Delta s\\{0}^{2} = {15}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot \Delta s\\0 = 225 -20\Delta s\\20\Delta s = 225\\\\\Delta s = \dfrac{225}{20}\\\\\Delta s = \textbf{\textsf{11{.}25 m}}$

c) Podemos agora usar a função horaria da posição:

$\sf h = h_{0} + v_{0}\cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot {t}^{2}\\\\\\h = altura~final;\\h_{0} = altura~inicial;\\v_{0} = velocidade~inicial;\\g = gravidade;\\t = tempo.$

Aplicando os dados da questão temos;

$\sf 5 = 0 + 15 \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot {t}^{2}\\\\5 = 15t - \dfrac{1\cdot 10}{2} \cdot {t}^{2}\\\\5 = 15t - 5 {t}^{2}\\\\{-5t}^{2}+15t -5 = 0$

Aplicamos Bhaskara:

$\sf {-5t}^{2}+15t -5 = 0\\\\\\x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\x_1 = \dfrac{-15+\sqrt{15^2 -4\cdot (-5) \cdot (-5)}}{2\cdot(-5)}\\\\x_1 = \dfrac{-15 +\sqrt{125}}{2\cdot (-5)}\\\\x_1 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\\\\x_1 = \dfrac{3\cdot 2{.}24}{2}\\\\x_1 = \dfrac{6{.}72}{2}\\\\x_1 \approx \textbf{\textsf{3.36 s}}$