Question

o) O Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão entre
cálculo integral e o cálculo diferencial, enuncie-o e apresente um exemplo de aplicação,
e resolva o exemplo dado.

Answer 1

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\boldsymbol{Teorema~fundamental~do~c\acute alculo~parte~1}}\\\sf Se~f~for~cont\acute inua~em~[a,b], ent\tilde ao~a~func_{\!\!,}\tilde ao~F~d~\!\!efinida\\\displaystyle\sf por~F(x)=\int_a^x f(t)~dt~\acute e~cont\acute inua~em~[a,b]\\\sf e~diferenci\acute avel~em~(a,b)~e~F'(x)=f(x),isto~\acute e\\\sf F~\acute e~a~antiderivada~de~f.\\\displaystyle\sf\bigg[\int_a^x f(t)~dt\bigg]'\!\!=f(x)~ou~\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)~dt=f(x)\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\rm Exemplo: \displaystyle\sf Calcule~a~seguinte~derivada~\dfrac{d}{dx}\int_1^x\dfrac{1}{t^3+1}\,dt.\\\underline{\rm soluc_{\!\!,}\tilde ao:}\\\sf note~que~f(t)=\dfrac{1}{1+t^3}\\\sf aplicando~o~TFC~parte~1~temos:\\\displaystyle\sf\dfrac{d}{dx}\int_1^x\dfrac{1}{1+t^3}\,dt=\dfrac{1}{1+x^3}\end{array}}$