Question

Determine o trabalho realizado por uma máquina de carnot que recebe 2000 J de calor de uma fonte quente e trabalha sob as temperaturas de 400 k e 700 k.

Answer 1

O trabalho realizado pela máquina de carnot é $\textstyle \sf \mathcal{ \ T} = 860\: J$

A máquina de Carnot é uma máquina térmica teórica que realiza continuamente um ciclo termodinâmico que passou a ser conhecido como ciclo de Carnot.

Quando dois corpos são colocados em contato térmico, o corpo mais quente cede calor ao corpo mais frio.

Vide a figura em anexo:

As transformações no diagrama ilustrado são:

$\displaystyle \sf \large \text {\sf isot{\'e}rmicas }\begin{cases} \sf AB \\\\ \sf CD \end{cases} \quad \large \text {\sf e } \quad \displaystyle \sf \large \text {\sf adiab{\'a}ticas }\begin{cases} \sf BC \\\\ \sf DA \end{cases}$

As quantidades de calor $\textstyle \sf Q_1$ e $\textstyle \sf Q_2$ são proporcionais às respectivas temperaturas $\textstyle \sf T_1$ e $\textstyle \sf T_2$ das fontes com as quais são trocadas:

$\boxed{ \displaystyle \sf \sf \dfrac{Q_1 }{T_1} = \dfrac{Q_2 }{T_2} \quad ou \quad \dfrac{Q_2 }{Q_1} = \dfrac{T_2 }{T_1} }$

O ciclo de Carnot propicia um rendimento dado por:

$\displaystyle \sf \eta = \dfrac{\mathcal{ \ T}}{Q_{\sf quente}} = \dfrac{Q_{\sf quente} - Q_{\sf fria}}{ Q_{\sf quente} }$

$\displaystyle \sf \eta = 1 - \dfrac{ Q_{\sf fria}}{ Q_{\sf quente} }$

Em razão das temperaturas absolutas das fontes quente e fria:

$\displaystyle \sf \eta = 1 - \dfrac{ T_{\sf fria}}{ T_{\sf quente} }$

Dados fornecido pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf Q_{\sf quente} = 2\:000\:J \\ \sf T_{fria} = 400\: k \\ \sf T_{quente} = 700\: k \\ \sf \mathcal{ \ T} = \: ?\: J \end{cases}$

A quantidade de calor recebida da fonte quente é dado por :

$\displaystyle \sf \eta = \dfrac{ \mathcal{ \ T} }{Q_{quente}}$

$\displaystyle \sf 1 - \dfrac{T_{\sf fria}}{T_{\sf quente}} = \dfrac{ \mathcal{ \ T} }{Q_{quente}}$

$\displaystyle \sf 1 - \dfrac{400}{700} = \dfrac{ \mathcal{ \ T} }{2\:000}$

$\displaystyle \sf 1 - 0,57 = \dfrac{ \mathcal{ \ T} }{2\:000}$

$\displaystyle \sf 0,43 = \dfrac{ \mathcal{ \ T} }{2\:000}$

$\displaystyle \sf \mathcal{ \ T} = 0,43 \times 2\: 000$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathcal{ \ T} = 860\: J }}}$

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