Question

Encontre o Limite:

$\lim{x \to \infty}(\frac{2x+4}{2x+1})^{2x+3}$


$\lim{x \to \infty}\sqrt{x^2-10x+1}-x+2$

Answer 1

1- Aqui teremos que fatorar também, reescrever tanto o expoente quanto o que está entre parênteses para calcular o limite:

i) Fazendo y = 2x+1 teremos que 2x+4 = y+3 e que, quando x tende ao infinito, y também tenderá ao infinito. Daí:

$\lim\limits_{y\to\infty}\left(\frac{y+3}{y}\right)^{y+2}\Rightarrow \lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{3}{y}\right)^{y+2}\Rightarrow\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{3}{y}\right)^y.\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{3}{y}\right)^2$

ii) Agora que reescrevemos esse limite de uma forma mais conveniente podemos calculá-lo. Mas antes, façamos y = 3z em apenas um dos limites, já que

$\boxed{\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e}$

Daí teremos:

$\lim\limits_{z\to\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{3z}.\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{3}{y}\right)^2=\lim\limits_{z\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{z}\right)^z\right)^3.1^2\\ \\ \mathrm{Como \ o \ limite \ acima \ \'e \ o \ mesmo \ inicial \ teremos \ que}\\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits\left(\frac{2x+4}{2x+1}\right)^{2x+3}=e^3}}$

___________________________________________________________

2- i) Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado, para ver o que podemos simplificar; não vamos trabalhar com o limite inicialmente, será só uma simplificação mesmo:

$\sqrt{x^2-10x+1}-x+2=\sqrt{x^2-10x+1}-(x-2).\frac{\sqrt{x^2-10x+1}+(x-2)}{\sqrt{x^2-10x+1}+(x-2)}\\ \\ \sqrt{x^2-10x+1}-x+2=\frac{x^2-10x+1-(x^2-4x+4)}{\sqrt{x^2-10x+1}+(x-2)}\\ \\ \boxed{\sqrt{x^2-10x+1}-x+2=\frac{-6x-3}{\sqrt{x^2-10x+1}+x-2}}$

ii) Agora sim, podemos calcular o limite, substituindo a expressão acima no limite:

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-6x-3}{\sqrt{x^2-10x+1}+x-2}\\ \\ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{x(-6-\frac{3}{x})}{\sqrt{x^2(1-\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2})}+x(1-\frac{2}{x})}\\ \\ \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x(-6-\frac{3}{x})}{x\sqrt{1-\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2}}+x(1-\frac{2}{x})}\\ \\ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{-6-\frac{3}{x}}{\sqrt{1-\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2}} +1-\frac{2}{x}}$

Aplicando o valor do limite agora:

$\lim\limits{x\to\infty}\sqrt{x^2-10x+1}-x+2=\frac{-6}{1+1}\\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{x^2-10x+1}-x+2=-3}}$