Question

O engenheiro Nonato registrou as informações a seguir:
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A) Escreva o vetor XA em função dos vetores XY e XZ

⇒ ⇒
Em um triangulo XYZ, o ponto A é tal que 3.YA = 2.AZ


• B, C e D são pontos no R³, de coordenadas B = (3,5,7), C = (12, 6, 9) e D = (-6, 3,11

• E, F, G e H são vértices de um paralelepípedo representado a seguir








B) – Apresente o módulo do vetor ū, sendo ū = BC -2.CD







C) - Utilizando o produto misto de vetores, determine o volume do paralelepípedo apresentado.


E, F, G e H são vértices de um paralelepípedo representado a seguir

Answer 1

As soluções para cada item são dadas a seguir:

a) Leia abaixo.  

b) ||u|| = √2218 

c) O volume do paralelepípedo é 215.

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Certamente, os vetores tem muitas utilidades em vários campos. Para ser objetivo, vamos aos itens:

a) Nesta questão, faz-se necessário saber os ângulos entre os vetores XY e XA, bem como entre XZ e XA. A informação do enunciado não diz, por exemplo, se o triângulo é retângulo e, dessa forma, os ângulos são necessários.

Como 3*YA = 2*AZ, então AZ/YA = 3/2. Chamando o segmento unitário de k, temos YA = 2k  e  AZ = 3k.

Usando que α é o ângulo entre XY e XA e β entre XZ e XA, tem-se que pela lei dos cossenos:

(3k)² = XA² + XZ² - 2XA*XZ * cos α  

(2k)² = XA² + XY² - 2XA*XY * cos β

Você substituindo k de uma equação na outra, basta isolar XA na expressão. De qualquer forma, observe que α e β necessariamente aparecerão nessa expressão.

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b) Vamos primeiramente calcular os vetores BC e CD:

B = (3, 5, -7), C = (12, 6, 9) e D = (-6, 3, 11)

BC = (12 - 3, 6 - 5, 9 - (-7)) = (9, 1, 16)

CD = (-6 - 12, 3 - 6, 11 - 9) = (-18, -3, 2)

Assim,

u = (9, 1, 16) - 2(-18, -3, 2) = (9, 1, 16) - (-36, -6, 4) = (45, 7, 12)

O módulo do vetor pode então ser calculado:

||v|| = √(45² + 7² + 12²) = √2218

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c) O produto misto dos vetores pode ser feito em termos do cálculo do determinante da matriz 3 x 3 onde as linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores EF, EG e EH.

Vamos calcular primeiramente tais vetores:

EF = (5 - 5, 9 - 2, 0 - 1) = (0, 7, -1)

EG = (0 - 5, 2 - 2, 1 - 1) = (-5, 0, 0)

EH = (5 - 5, 3 - 2, 7 - 1) = (0, 1, 6)

Volume:

         |0   7   -1 |

det    |-5  0   0 |    =  215 u.v.

         |0   1    6 |

O volume do paralelepípedo é 215.

Até mais!

Answer 2

Resposta:

A) Apresente o módulo de vetor u, sendo u = BC - 2. CD.

B, C e D são pontos R³, de coordenadas B= (3,5-7), C=(12,6,9) e D=(-6,3,11).

Explicação passo a passo:

u=C-B-{2*(D-C)}

u=(12,6,9)-(3,5-7) – { 2 *(-6,3,11)-(12,6,9)}  

u=(9,1,16) – { 2 * (18,3,2) }

u=(45,7,12)

$|u| = \sqrt(45^{2}+7^{2} +12^{2} )\\|u| = \sqrt2218\\|u| = 47,1$