Question

Considere um cone circular reto de altura H e raio da base r inscrito em uma esfera de raio R, como mostra a figura.

A) Calcule o raio da esfera R em função de r e h.

B)Se o raio da esfera é R=25 , calcule as áreas totais das superfícies e os volumes dos cones circulares retos, com raio da base r=7 , que podem ser inscritos na esfera.
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Answer 1

a) O raio da esfera R em função de r e h:

R² = (h - R)² + r²

b) Área total da superfície do cone: 49π·(1 + 5√2)

Volume do cone: 2401π/3

Explicação:

a) Pela figura, pode-se perceber que o raio da esfera (R) é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são o raio da base do cone (r) e a diferença entre a altura do cone (h) e o raio da esfera (R).

Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos:

R² = (h - R)² + r²

b) Sendo R = 25 e r = 7, temos:

R² = (h - R)² + r²

25² = (h - 25)² + 7²

625 = h² - 50h + 625 + 49

h² - 50h + 49 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, tem-se:

h' = 49 ou h'' = 1

Como R é 25, h não pode ser 1, pois h - R daria 1 - 25 = - 24 (não existe medida de comprimento negativa). Logo:

h = 49

Cálculo da geratriz

g² = h² + r²

g² = 49² + 7²

g² = (7²)² + 7²

g² = 7⁴ + 7²

g² = 7²·(7² + 1)

g² = 7²·50

g = √(7²·50)

g = 7·√50

g = 7·5√2

Área total da superfície do cone

At = Ab + Al

At = π·r² + π·r·g

At = π·7² + π·7·7·5√2

At = π·49 + π·49·5√2

At = 49π·(1 + 5√2)

Volume do cone

V = π·r²·h

         3

V = π·7²·49

          3

V = 2401π

          3

Answer 2

Resposta:A)O raio da esfera R em função de r e h:

R² = (h - R)² + r²

b) Área total da superfície do cone: 49π·(1 + 5√2)

Volume do cone: 2401π/3