Question

Essa série é convergente ou divergente? ​

Answer 1

• A série dada é absolutamente convergente, pois após aplicar o critério d'Alembert temos que a série dá um valor menor que 1.

Para dizer se uma série converge ou diverge, temos que fazer o teste da razão, dado por

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\end{gathered} }$

Onde temos que se L for menor que 1, série irá convergir e se for maior que 1 a série irá divergir.

Aplicando o teste da razão na sua série, temos que

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3+3^n} \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \left| \frac{\dfrac{1}{3+3^{n+1}}}{\dfrac{1}{3+3^n}}\right| \end{gathered} }$

Calculando então esse limite, temos que $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n\to \infty} \left| \frac{\dfrac{1}{3+3^{n+1}}}{\dfrac{1}{3+3^n}}\right|\Rightarrow \lim_{n\to \infty} \left| \dfrac{1}{3+3^{n+1}}\cdot 3+3^n\right| \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n\to \infty} \left| \dfrac{3+3^n}{3+3^{n+1}} \right|\Rightarrow \lim_{n\to \infty} \left| \dfrac{\dfrac{3+3^n}{3^{n+1}}}{\dfrac{3+3^{n+1}}{3^{n+1}}} \right|\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n\to \infty} \left| \dfrac{\dfrac{3}{3^{n+1}}+\dfrac{3^n}{3^{n+1}}}{\dfrac{3}{3^{n+1}}+\dfrac{3^{n+1}}{3^{n+1}}} \right|\Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left| \frac{0+\dfrac{1}{3}}{0+1}\right| \end{gathered} }$  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n\to \infty} \left| \dfrac{1}{ 3}\right| = \frac{1}{3} \ \ \therefore \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3+3^n}\ \ \underline{\underline{converge}}\end{gathered} }$

Temos então que o limite deu um número menor que 1, portanto essa série é absolutamente convergente.

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