Question

Estou precisando de ajuda nesta questão:

Answer 1

Calcular a área entre as curvas determinadas pelas equações

$x^{1/2}+y^{1/2}=a^{1/2}~\text{ e }~x+y=a.$

com $a>0.$
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Encontrando os pontos de interseção entre as curvas:

$\left\{ \begin{array}{lc} x^{1/2}+y^{1/2}=a^{1/2}&~~\mathbf{(i)}\\ \\ x+y=a&~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Isolando $y$ na equação $\mathbf{(ii)}$ e substituindo na equação $\mathbf{(i)},$ temos

$y=a-x\\ \\ \\ x^{1/2}+(a-x)^{1/2}=a^{1/2}\\ \\ (a-x)^{1/2}=a^{1/2}-x^{1/2}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\left[(a-x)^{1/2} \right ]^{2}=\left(a^{1/2}-x^{1/2} \right )^{\!2}\\ \\ a-x=\left(a^{1/2}\right)^{\!2}-2\cdot a^{1/2}\cdot x^{1/2}+\left(x^{1/2}\right)^{\!2}\\ \\ \\ \diagup\!\!\!\! a-x=\diagup\!\!\!\! a-2(ax)^{1/2}+x\\ \\ \\ \diagup\!\!\!\! 2(ax)^{1/2}=\diagup\!\!\!\! 2x\\ \\ (ax)^{1/2}=x$


Elevando os dois lados ao quadrado novamente, temos

$\left[(ax)^{1/2} \right ]^{\!2}=x^{2}\\ \\ ax=x^{2}\\ \\ ax-x^{2}=0\\ \\ x\cdot (a-x)=0\\ \\ x=0~~\text{ ou }~~x=a$


Para $x=0,$ temos $y=a.$

Para $x=a,$ temos $y=0.$


As curvas se intersectam nos pontos $(0,\;a)$ e $(a,\;0).$

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Como $x$ e $y$ aparecem envolvidos em raízes quadradas (elevados a $1/2$ ), então a região que desejamos calcular a área está no primeiro quadrante:

$x\ge 0~~\text{ e }~~y\ge 0.$


A área da região $D$ é dada por

$\text{\'{A}rea}(D)=\displaystyle\iint_{D}{1\,dx\,dy}~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Encontrando os limites de integração:

$\bullet\;\;x$ varia entre extremos fixos:

$0\le x\le a.$


$\bullet\;\;y$ varia entre duas funções de $x:$

(da curva até a reta)


Para saber qual é o limite superior e qual é o inferior de $y,$ basta resolvermos a inequação

$a+x-2(ax)^{1/2}~\square~a-x$

sendo $\square\in \{\ge\,;\;\le\}.$


$\diagup\!\!\!\! a+x-2(ax)^{1/2}~\square~\diagup\!\!\!\! a-x\\ \\ \diagup\!\!\!\! 2x~\square~\diagup\!\!\!\! 2(ax)^{1/2}\\ \\ x~\square~(ax)^{1/2}$


Como $x\ge 0,$ os dois membros da desigualde acima não são negativos. Portanto, se elevarmos os dois membros ao quadrado, o sentido da desigualdade é mantido:

$x^{2}~\square~ax\\ \\ x^{2}-ax~\square~0\\ \\ x\cdot (x-a)~\square~0$


Como $0\le x\le a,$ temos que

$x\cdot (x-a)\le 0$


Portanto, $\square$ é $\le.$


Assim, temos que os limites de integração em $y$ são

$a+x-2(ax)^{1/2}\le y\le a-x.$

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Escrevendo as integrais iteradas:

$\text{\'{A}rea}(D)=\displaystyle\iint_{D}{1\,dx\,dy}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{\;a+x-2(ax)^{1/2}}^{a-x}{1\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{a}{(y)|_{a+x-2(ax)^{1/2}}^{a-x}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{a}{\left[(a-x)-(a+x-2(ax)^{1/2}) \right ]\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{a}{\left[\diagup\!\!\!\! a-x-\diagup\!\!\!\! a-x+2(ax)^{1/2} \right ]\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{a}{\left[-2x+2(ax)^{1/2} \right ]\,dx}~~~~~~\mathbf{(iv)}$


Façamos a seguinte mudança de variável:

$ax=u~\Rightarrow~a\,dx=du~\Rightarrow~\left\{ \begin{array}{l} dx=\dfrac{1}{a}\,du\\ \\ x=\dfrac{1}{a}\,u \end{array} \right.$


Mudando os extremos de integração:

$\text{Quando }x=0~\Rightarrow~u=0\\ \\ \text{Quando }x=a~\Rightarrow~u=a^{2}$


Substituindo em $\mathbf{(iv)},$ a integral fica

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{a^{2}}{\left[-2\cdot \dfrac{1}{a}\,u+2u^{1/2} \right ]\cdot \dfrac{1}{a}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\int\limits_{0}^{a^{2}}{\left[-\dfrac{2}{a}\,u+2u^{1/2} \right ]du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \left[-\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2}{a}\cdot \dfrac{u^{2}}{\diagup\!\!\!\! 2}+2\cdot \dfrac{2}{3}\,u^{3/2} \right ]_{0}^{a^{2}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \left[-\dfrac{u^{2}}{a}+\dfrac{4u^{3/2}}{3} \right ]_{0}^{a^{2}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \left[-\dfrac{(a^{2})^{2}}{a}+\dfrac{4(a^{2})^{3/2}}{3} \right ]\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \left[-\dfrac{a^{4}}{a}+\dfrac{4a^{3}}{3} \right ]\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \left[-a^{3}+\dfrac{4a^{3}}{3} \right ]$

$=\dfrac{1}{a}\cdot \left[-\dfrac{3a^{3}}{3}+\dfrac{4a^{3}}{3} \right ]\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \left[\dfrac{-3a^{3}+4a^{3}}{3} \right ]\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{a^{3}}{3}\\ \\ \\ =\dfrac{a^{2}}{3}~\mathrm{u.a.}$