determine o ângulo entre os vetores u= (1,0,1) e v= (0,0,2)

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respondido por: solkarped

✅ Depois de ter realizado os cálculos, concluímos que o ângulo entre os respectivos vetores é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}ang(\vec{u}, \vec{v}) = 45^{\circ} \end{gathered}$}$

Se nos foi dado os seguintes vetores:

$\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 0, 1)\\\vec{v} = (0, 0, 2) \end{cases}$

Para calcular o ângulo entre vetores podemos utilizar a fórmula do produto escalar - produto interno - que é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos\:\theta \end{gathered}$}$

Já que queremos encontrar o valor do ângulo entre os vetores, devemos isolar o "cos θ" no primeiro membro da equação "I", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}cos\:\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{x_{\vec{u}}\cdot x_{\vec{v}} + y_ {\vec{u}}\cdot y_{\vec{v}} + z_{\vec{u}}\cdot z_{\vec{v}}}{\sqrt{x_{\vec{u}}^{2} + y_{\vec{u}}^{2} + z_{\vec{u}}^{2}} \cdot \sqrt{x_{\vec{v}}^{2} + y_{\vec{v}}^{2} + z_{\vec{v}}^{2}}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1\cdot0+0\cdot0+1\cdot2}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}\cdot\sqrt{0^{2} + 0^{2}+ 2^{2}}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{2}{\sqrt{2\cdot4}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{2}{\sqrt{8}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{2}{\sqrt{8}} \cdot\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{2\sqrt{8}}{(\sqrt[\!\diagup\!\!]{8})^{\!\diagup\!\!\!\!2}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{2\cdot2\sqrt{2}}{8} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{4\sqrt{2}}{8} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$}$

Portanto, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}cos\:\theta = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$}$

Desta forma "θ" pode ter dois valores, que são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\theta' = arccos\:\Bigg(\frac{\sqrt{2}}{2} \Bigg) = 45^{\circ} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\theta'' = arccos\:\Bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2} \Bigg) = 315^{\circ} \end{gathered}$}$

Como o ângulo entre dois vetores é sempre menor ou igual a 180°, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}0\le ang(\vec{u}, \vec{v}) \le 180^{\circ} \end{gathered}$}$

Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}ang(\vec{u}, \vec{v}) = \theta = arccos\:\Bigg(\frac{\sqrt{2}}{2} \Bigg) = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}rad \end{gathered}$}$